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Forum "Zahlentheorie" - Quersumm teilbarkeit
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Quersumm teilbarkeit: korrektur
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:19 Sa 07.05.2016
Autor: fugit

Aufgabe
Sei [mm] $n=\summe_{i=0}^{k} a_i10^i =\summe_{j=0}^{l} b_j1000^j \in \IN$ [/mm] (mit $0 [mm] \le a_i \le [/mm] 9 , 0 [mm] \le b_j \le [/mm] 999$).Zeigen sie:

a) $n$ ist durch $7$ teilbar genau dann wenn ihre gewichte Quersumme [mm] $Q_w(n)=\summe_{j=0}^{k} a_jw_j$ [/mm] durch $7$ teilbar ist,wo bei die Gewichte [mm] $w_j$ [/mm] gegeben sind durch:

        $ | j (mod 6) |0|1|2| 3 | 4 | 5 |$
       $  |      [mm] w_i [/mm]     |1|3|2|-1|-3 | -2|$

(b) $n$ ist durch $7$ teilbar genau dann wenn ihre alternierende $3$-Quersumme [mm] $Q'_3(n)=\summe_{j=0}^{l}(-1)^jb_j$ [/mm] durch $7$ teilbar ist.

$c) n [mm] \equiv [/mm] Q'_3(n) [mm] \equiv Q_w(n) [/mm] (mod 7)$


(d) $n$ ist durch $37$ teilbar genau dann wenn ihre $3$-Quersumme [mm] $Q'_3(n)=\summe_{j=0}^{l}b_j [/mm] $ durch $37$ teilbar ist.

(e) Ähnliche Teilbarkeitsregeln gibt es für jede beliebige Zahl (anstelle von $7$ oder $37$).

hi


kann mir einer nen tipp für die $a)$ geben? muss ich da mal was mit der Tabelle machen?


$b)$

ich schreibe $n$ als $n=1000*b+a=1001b+(a-b)$.  $a$ ist die Zifferngruppe aus den letzten $3$ Ziffern der Zahl und $1000b$ ist somit der Rest.Jetzt muss ich widerrum prüfen ,ob $(a-b)$ durch $7$ teilbar ist.Dies mache ich mit der gleichen prozedur,jedoch dadurch,dass $ b$ eine negatives Vorzeichen hat ensteht so mit das alternierende Vorzeichen.

ich möchte gerne nun meinen Beweis mit der modulo Rechnung durch führen

$7$  teilt $n [mm] \gdw [/mm]  n [mm] \equiv [/mm] 0 (mod 7)$

mit aufgaben vorraussetzung $n = [mm] \summe_{j=0}^{l} b_j10^{3j}$ [/mm] mit $0 [mm] \le b_j \le [/mm] 999$


$n = [mm] \summe_{j=0}^{l} b_j10^{3j} [/mm] mod 7 = [mm] (\summe_{j=0}^{l} (b_j10^{3j} [/mm] mod 7 )) mod [mm] 7=(\summe_{j=0}^{l} (b_j [/mm] mod [mm] 7*10^{3j} [/mm] mod 7 )) mod [mm] 7=(\summe_{j=0}^{l} (b_j [/mm] mod [mm] 7*(-1)^j [/mm] mod7 )) mod [mm] 7=(\summe_{j=0}^{l} b_j *(-1)^j [/mm]  ) mod 7 $

beweis ende


c) keine ahnung.. :/


d)

$37$  teilt $n [mm] \gdw [/mm]  n [mm] \equiv [/mm] 0 (mod 37)$

ich schreibe $n$ als $n=1000*b+a=999b+(a+b)$. jetzt auf a+b wieder die gleich prozedur

$ n = [mm] \summe_{j=0}^{l} b_j10^{3j} [/mm] mod 37 = [mm] (\summe_{j=0}^{l} (b_j10^{3j} [/mm] mod 37 )) mod [mm] 7=(\summe_{j=0}^{l} (b_j [/mm] mod [mm] 37\cdot{}10^{3j} [/mm] mod 37 )) mod [mm] 7=(\summe_{j=0}^{l} (b_j [/mm] mod [mm] 37\cdot{}(1)^j [/mm] mod37 )) mod [mm] 7=(\summe_{j=0}^{l} b_j \cdot{}(1)^j [/mm] ) mod 37 =  [mm] (\summe_{j=0}^{l} b_j [/mm]  ) mod 37 $ Beweis end


e) leider auch keine ahnung..:/


liebe grüße euch allen

        
Bezug
Quersumm teilbarkeit: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Mo 09.05.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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