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Forum "Uni-Numerik" - Quadratur Formel exakt
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Quadratur Formel exakt: Formel exakt bis Grad <= 2m+1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:02 Sa 14.06.2014
Autor: wilmi

Aufgabe
Hallo,
ich versuche gerade einen Beweis nachzuvollziehen. Aber irgendwie hänge ich fest.
Satz: Eine Quadraturformel [mm] \integral_{-1}^{1}{g(t) dt} [/mm] --> [mm] \summe_{k=0}^{m}a_k g(t_k) [/mm] kann höchstens für alle Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 2m+1 exakt sein.

Leider hänge ich hier beim Beweis. Ich weiß, dass man sich ein Polynom vom Grad 2m+2 nimmt z.B. [mm] \produkt_{i=0}^{m}(t-t_1)^2 [/mm] und dann zeigt, dass [mm] \integral_{-1}^{1}{p(t) dt} [/mm] > 0 und
[mm] \summe_{k=0}^{m}a_k p(t_k) [/mm] = 0 ist. Aber dass die Summe gleich null ist, versteh ich leider nicht. Ich weiß, dass die [mm] t_k [/mm] die Nullstellen des Legendre-Polynoms vom Grad n+1 sind.

Kann mir jemand helfen, und erklären, wie man darauf kommt, dass die Summe gleich 0 ist?

Vielen Dank Wilmi

        
Bezug
Quadratur Formel exakt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:13 Sa 14.06.2014
Autor: hippias


> Hallo,
>  ich versuche gerade einen Beweis nachzuvollziehen. Aber
> irgendwie hänge ich fest.
>  Satz: Eine Quadraturformel [mm]\integral_{-1}^{1}{g(t) dt}[/mm] -->

> [mm]\summe_{k=0}^{m}a_k g(t_k)[/mm] kann höchstens für alle
> Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 2m+1 exakt sein.
>  Leider hänge ich hier beim Beweis. Ich weiß, dass man
> sich ein Polynom vom Grad 2m+2 nimmt z.B.
> [mm]\produkt_{i=0}^{m}(t-t_1)^2[/mm]

Hier muss es wohl [mm] $\produkt_{i=0}^{m}(t-t_i)^2$ [/mm] heissen.

> und dann zeigt, dass
> [mm]\integral_{-1}^{1}{p(t) dt}[/mm] > 0 und
> [mm]\summe_{k=0}^{m}a_k p(t_k)[/mm] = 0 ist. Aber dass die Summe
> gleich null ist, versteh ich leider nicht. Ich weiß, dass
> die [mm]t_k[/mm] die Nullstellen des Legendre-Polynoms vom Grad n+1
> sind.
>
> Kann mir jemand helfen, und erklären, wie man darauf
> kommt, dass die Summe gleich 0 ist?

Du hast ja $p= [mm] \produkt_{i=0}^{m}(t-t_i)^2$ [/mm] gewaehlt, d.h. $p= [mm] (t-t_{0})^{2}(t-t_{1})^{2}\ldots (t-t_{m})^{2}$. [/mm] Siehst du jetzt besser, dass z.B. [mm] $p(t_{0})=0$ [/mm] ergibt?

>  
> Vielen Dank Wilmi


Bezug
        
Bezug
Quadratur Formel exakt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:14 Sa 14.06.2014
Autor: DieAcht

Hier stand nicht viel richtiges.

Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Quadratur Formel exakt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:29 Sa 14.06.2014
Autor: wilmi

Hallo, vielen Dank für die schnellen Antworten. Wenn ich allerdings ein Polynom vom Grad [mm] \le [/mm] 2m+1 habe, solll die Quadraturformel ja exakt sein. Aber mit eurer Argumentation müsste die Summe in diesem Fall ja auch =0 sein, oder?
Es muss also irgendwie an der Graderhöhung scheitern...nur leuchtet mir das nicht so ganz ein.

LG Wilmi

Bezug
                        
Bezug
Quadratur Formel exakt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:54 Sa 14.06.2014
Autor: hippias

Ich verstehe das Problem so: Ganz egal wie man bei festem $m$ die Koeffizienten [mm] $a_{k}$ [/mm] und die Stuetzstellen [mm] $t_{k}$ [/mm] waehlt, es gibt stets ein Polynom $p$ vom Grad $2m$ fuer das [mm] $\int_{-1}^{1}pdx\neq \sum_{k=1}^{m} a_{k}p(t_{k})$ [/mm] gilt.

Das hast du nachgewiesen. Das heisst aber keineswegs, dass fuer alle Polynome vom kleineren Grad Gleichheit gilt. Fuer welche Grade Gleichheit gilt, haengt natuerlich auch stark von der Wahl der [mm] $a_{k}$ [/mm] und den Stuetzstellen ab.

Bezug
                                
Bezug
Quadratur Formel exakt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:17 So 15.06.2014
Autor: wilmi

Danke für die Antwort, werdde mich damit noch mal befassen.

LG Wilmi

Bezug
                                        
Bezug
Quadratur Formel exakt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:19 So 15.06.2014
Autor: wilmi

Das sollte keine neue Frage sein, sondern eine Mitteilung. Leider weiß ich nicht, wie ich den Status ändern kann

Bezug
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