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Quadratische Programmierung: Bestimmung des Sattelpunktes
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:15 Mi 19.11.2014
Autor: David15

Aufgabe
Gegeben ist das folgende nichtlineare Problem:

min [mm] f(x)=(x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-3)^{2} [/mm]

s.d. [mm] x_{1}-2x_{2}\ge{-7} [/mm]

[mm] 2x_{1}+x_{2}\le{5} [/mm]

[mm] x_{1},x_{2}\ge{0} [/mm]


(a) Geben Sie die Kuhn-Tucker-Bedingungen für obiges Problem in der Formulierung als Sattelpunkt der Lagrange-Funktion an.

(b) Überprüfen Sie, ob der Punkt [mm] P=(2;5)^{T} [/mm] ein Sattelpunkt ist.

Hallo,

ich würde gerne wissen, wie ich in Aufgabenteil (b) vorgehe. Ich habe das Problem zunächst in die Normalform überführt und dann Aufgabenteil (a) wie folgt gelöst:


Lagrange-Funktion:

[mm] L(x,u)=(x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-3)^{2}+u_{1}*(-x_{1}+2x_{2}-7)+u_{2}*(2x_{1}+x_{2}-5) [/mm]

Notwendige Bedingungen für das Vorliegen eines Sattelpunktes:

[mm] L_{x}(x,u)=\vektor{2x_{1}-4-u_{1}+2u_{2} \\ 2x_{2}-6+2u_{1}+u_{2}}\ge0 [/mm]

[mm] L_{u}(x,u)=\vektor{-x_{1}+2x_{2}-7 \\ 2x_{1}+x_{2}-5}\le0 [/mm]

[mm] x_{1}*(2x_{1}-4-u_{1}+2u_{2})=0 [/mm]

[mm] x_{2}*(2x_{2}-6+2u_{1}+u_{2})=0 [/mm]

[mm] u_{1}*(-x_{1}+2x_{2}-7)=0 [/mm]

[mm] u_{2}*(2x_{1}+x_{2}-5)=0 [/mm]

[mm] x_{1},x_{2},u_{1},u_{2}\ge0 [/mm]


Nun zum Aufgabenteil (b). Im Skript habe ich gelesen, dass ein Punkt [mm] (x_{o},u_{0}) [/mm] Sattelpunkt von L(x,u) heißt, wenn gilt:

[mm] L(x_{0},u)\le{L}(x_{0},u_{0})\le{L}(x,u_{0})\forall{x}\in\IR^{n},x\ge0,\forall{u}\in\IR^{m},u\ge0 [/mm]


Ich würde nun gerne wissen, ob ich mit dieser Formel nachweisen kann, ob es sich beim vorliegenden Punkt um einen Sattelpunkt handelt. Was muss ich dann aber für u einsetzen? Aus den Nebenbedingungen erhalte ich diese zu

[mm] u_{1}=-\bruch{8}{5} [/mm] und [mm] u_{2}=-\bruch{4}{5} [/mm]

berechnen. Das würde dann aber die Nichtnegativitätsbedingungen verletzen. Wie würdet ihr an das Problem herangehen. Danke schon mal für eure Hilfe.



        
Bezug
Quadratische Programmierung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:43 Fr 21.11.2014
Autor: David15

Hallo zusammen!

Eine Antwort zu meiner Frage würde mich nach wie vor interessieren.

Vielen Dank und viele Grüße.

Bezug
        
Bezug
Quadratische Programmierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:34 Mo 24.11.2014
Autor: meili

Hallo David15,

> Gegeben ist das folgende nichtlineare Problem:
>  
> min [mm]f(x)=(x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-3)^{2}[/mm]
>  
> s.d. [mm]x_{1}-2x_{2}\ge{-7}[/mm]
>  
> [mm]2x_{1}+x_{2}\le{5}[/mm]
>  
> [mm]x_{1},x_{2}\ge{0}[/mm]
>  
>
> (a) Geben Sie die Kuhn-Tucker-Bedingungen für obiges
> Problem in der Formulierung als Sattelpunkt der
> Lagrange-Funktion an.
>  
> (b) Überprüfen Sie, ob der Punkt [mm]P=(2;5)^{T}[/mm] ein
> Sattelpunkt ist.
>  Hallo,
>  
> ich würde gerne wissen, wie ich in Aufgabenteil (b)
> vorgehe. Ich habe das Problem zunächst in die Normalform
> überführt und dann Aufgabenteil (a) wie folgt gelöst:
>  
>
> Lagrange-Funktion:
>  
> [mm]L(x,u)=(x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-3)^{2}+u_{1}*(-x_{1}+2x_{2}-7)+u_{2}*(2x_{1}+x_{2}-5)[/mm]
>  
> Notwendige Bedingungen für das Vorliegen eines
> Sattelpunktes:
>  
> [mm]L_{x}(x,u)=\vektor{2x_{1}-4-u_{1}+2u_{2} \\ 2x_{2}-6+2u_{1}+u_{2}}\ge0[/mm]
>  
> [mm]L_{u}(x,u)=\vektor{-x_{1}+2x_{2}-7 \\ 2x_{1}+x_{2}-5}\le0[/mm]
>  
> [mm]x_{1}*(2x_{1}-4-u_{1}+2u_{2})=0[/mm]
>  
> [mm]x_{2}*(2x_{2}-6+2u_{1}+u_{2})=0[/mm]
>  
> [mm]u_{1}*(-x_{1}+2x_{2}-7)=0[/mm]
>  
> [mm]u_{2}*(2x_{1}+x_{2}-5)=0[/mm]
>  
> [mm]x_{1},x_{2},u_{1},u_{2}\ge0[/mm]
>  
>
> Nun zum Aufgabenteil (b). Im Skript habe ich gelesen, dass
> ein Punkt [mm](x_{o},u_{0})[/mm] Sattelpunkt von L(x,u) heißt, wenn
> gilt:
>  
> [mm]L(x_{0},u)\le{L}(x_{0},u_{0})\le{L}(x,u_{0})\forall{x}\in\IR^{n},x\ge0,\forall{u}\in\IR^{m},u\ge0[/mm]
>  
>
> Ich würde nun gerne wissen, ob ich mit dieser Formel
> nachweisen kann, ob es sich beim vorliegenden Punkt um
> einen Sattelpunkt handelt. Was muss ich dann aber für u
> einsetzen? Aus den Nebenbedingungen erhalte ich diese zu
>
> [mm]u_{1}=-\bruch{8}{5}[/mm] und [mm]u_{2}=-\bruch{4}{5}[/mm]
>  
> berechnen. Das würde dann aber die
> Nichtnegativitätsbedingungen verletzen. Wie würdet ihr an
> das Problem herangehen. Danke schon mal für eure Hilfe.
>  
>  

Der Punkt $P = [mm] (2;5)^T$ [/mm]  verletzt die Nebenbedingungen [mm] $x_1-2x_2 \ge [/mm] -7$ und
[mm] $2x_1 +x_2 \le [/mm] 5$ (2-2*5 = -8 < -7, 2*2+5 = 9 > 5).

Kann so ein Punkt überhaupt Sattelpunkt des nichtlinearen Problems sein?

Gruß
meili

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