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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Pseudoinverse Matrix
Pseudoinverse Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Pseudoinverse Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:57 Sa 12.11.2016
Autor: noglue

Aufgabe
Sei A eine reelle [mm] m\times [/mm] n-Matrix und B eine reelle [mm] n\times [/mm] m- Matrix. Zeige, dass B genau dann die pseudsoinverse Matrix zu A ist, wenn AB und BA symmetrische Matrizen sind und

ABA=A und BAB=B gilt

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

Mooin,

Ich sitze vor diese Aufgabe und weiß nicht wo ich anfangen soll.

Also zu zeigen ist:
B Pseudoinverse zu A [mm] \gdw [/mm] AB und BA symmetrisch, ABA=A und BAB=B

[mm] "\Rightarrow" [/mm] B Pseudoinverse zu A, dann ist [mm] B=A^{+} [/mm]
[mm] A^{+}=Q^{-1}D^{+}P [/mm]  ,wobei Q,P orthogonal und D Diagonalmatrix

Ich bin für jeden Tipp dankbar.

        
Bezug
Pseudoinverse Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:44 So 13.11.2016
Autor: Omega91

Hallo,


wie lautet denn eure exakte Definition ?
Pseudoinverse gibt es so einige ...


schreib dir/uns hier mal die genaue Definition auf und versuche mal einen eigenen Ansatz.


Lg Omega

Bezug
                
Bezug
Pseudoinverse Matrix: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:31 So 13.11.2016
Autor: noglue

Ist [mm] A=P^{T}DQ [/mm] eine Singulärwertzerlegung einer [mm] m\times [/mm] n-Matrix A, so heißt die [mm] n\times [/mm] m-Matrix [mm] A^{+} [/mm] die zu A pseudoinverse Matrix.

Bezug
                        
Bezug
Pseudoinverse Matrix: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Di 15.11.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                
Bezug
Pseudoinverse Matrix: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:57 So 13.11.2016
Autor: noglue

ich habe jetzt folgendes versucht:
[mm] "\Rightarrow" [/mm] Sei [mm] A=P^{-1}DQ [/mm] eine Singulärwertzerlegung von A und [mm] A^{+}=Q^{-1}D^{+}P [/mm] pseudoinverse Matrix von A. Dann gilt

[mm] AA^{+}=(P^{-1}DQ)(Q^{-1}D^{+}P)=P^{-1}(D(QQ^{-1})D^{+})P=P^{T}(DD^{+})P [/mm]

[mm] DD^{+} [/mm] ist eine Blockdiagonalmatrix. Damit erhalten wir [mm] AA^{+} [/mm] symmetrisch. Analog ist [mm] A^{+}A [/mm] eine symmetrische Matrix.

oder kann man es so zeigen:

Sei [mm] B=(A^{T}A)^{-1}A^T. [/mm] Dann ist [mm] BA=(A^TA)^{-1}A^{T}A=E_n, [/mm] so ist BA symmetrisch, BAB=B und ABA=A. Letzendlich [mm] AB=A(A^{T}A)^{-1}A^{T} [/mm] symmetrisch, weil [mm] (A^{T}A)^{-1} [/mm] Inverse einer symmetrischen Matrix. Dann ist [mm] (AB)^{T}=B^{T}A^{T}=(A^{T})^{T}(A^{T}A)^{-1}A^{T}=AB [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Pseudoinverse Matrix: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:21 Di 15.11.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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