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Forum "Topologie und Geometrie" - Projektionen affine Abbildung
Projektionen affine Abbildung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Projektionen affine Abbildung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:22 So 22.11.2015
Autor: Joker08

Aufgabe
Zeigen Sie, dass Dilatationen und Projektionen affine Abbildungen sind. Wie sehen die entsprechenden zugehörigen linearen Abbildungen aus?


Also das eine Dilatation eine affine Abbildung ist habe ich bereits hinbekommen.
Mein Problem liegt bei der Projektion.

Die Definition einer Projektion lautet wie folgt.

--------------------------------------------------------------------------------------------
[mm] \underline{Definition}: [/mm]
Seien $X$ ein affiner Raum, $Y$ eine nichtleerer affiner UR. von $X$, [mm] $W\subseteq V_X$ [/mm] ein [mm] $\mathbb{K}$-linearer [/mm] Unterraum von [mm] $V_X$, [/mm] mit [mm] $W\oplus V_Y [/mm] = [mm] V_X$ [/mm] und [mm] $A\in [/mm] X$.

Eine Abbildung [mm] $\varphi: X\to [/mm] X$ heißt Projektion auf $Y$ parallel zu $W$, wenn [mm] $\varphi(B) \in [/mm] Y$ und [mm] $\overrightarrow{B\varphi(B)}\in [/mm] W$ für alle [mm] $B\in [/mm] X$ ist.
--------------------------------------------------------------------------------------------

Um zu zeigen, dass [mm] \varphi [/mm] affin ist müssen wir zeigen, dass:

[mm] $\overrightarrow{\varphi}(\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{\varphi(A)\varphi(B)}$ [/mm]

Mein Ansatz beschränkt sich allerdings bislang auf folgendes.
Sei [mm] $A,B\in [/mm] X$ und [mm] $\varphi(A)$, $\varphi(B)\in [/mm] Y$.

Dann gilt nach definition:
[mm] $\varphi(A) \Rightarrow \overrightarrow{A\varphi(A)} \in [/mm] W$
[mm] $\varphi(B) \Rightarrow \overrightarrow{B\varphi(B)} \in [/mm] W$

Nach der Dreiecksgleichung gilt:

[mm] $\overrightarrow{\varphi(A)\varphi(B)}=\overrightarrow{A\varphi(A)}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B\varphi(B)}$. [/mm]

Wegen [mm] $\overrightarrow{A\varphi(A)}= -\overrightarrow{\varphi(A)A}$ [/mm] und der Abgeschlossenheit von $W$, wären also [mm] $\overrightarrow{A\varphi(A)}$, $\overrightarrow{B\varphi(B)}\in [/mm] W$.
[mm] $\overrightarrow{AB}\in V_X$. [/mm]

Und nun weiss ich nicht so recht, wie ich von dort aus weiter machen soll da mir das irgendwie überhaupt nichts bringt. Ich muss ja nun eine lineare Abbildung [mm] $\overrightarrow{\varphi}$ [/mm] finden sodass die gleichheit gilt.

Kann mir jemand vll einen kleinen Tipp geben?

Mit freundlichen Grüßen,
der Joker




        
Bezug
Projektionen affine Abbildung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Di 24.11.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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