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Probeklausur Lösungen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:29 Sa 17.03.2018
Autor: Jellal

Hallo werte Stochastik-Freunde,

ich habe gerade eine Probeklausur gerechnet und würde mich freuen, wenn jemand meine Lösungswege überprüfen könnte. An einer Teilaufgabe kam ich auch nicht weiter.

A1) 20 Studenten bewerben sich auf 12 freie Plätze in 3 Seminaren: Seminar A: 6 Plätze
Seminar B: 4 Plätze
Seminar C: 2 Plätze

a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Studenten den Seminaren zuzuordnen.
Lösung: Annahmen: Studenten können mehrere Seminare besuchen, die Plätze innerhalb eines Seminar sind ununterscheidbar.
Dann gilt für die gesamte Anzahl an Möglichkeiten [mm] N=|Kom_{6}^{20}(o.W)|*|Kom_{4}^{20}(o.W)|*|Kom_{2}^{20}(o.W)| [/mm] also das Produkt der Mächtigkeiten der Kombinationsmengen ohne Wiederholung.
--> [mm] N=\vektor{20 \\ 6}\vektor{20 \\ 4}\vektor{20 \\ 2}=\bruch{(20!)^{3}}{6!4!2!(20-6)!(20-4)!(20-2)!} [/mm]
Ich frage mich, ob das so reicht, oder ob man noch groß kürzen muss: [mm] N=9*10*17^{2}*19^{2}*20 [/mm]

b)Unter den 20 Studenten befinden sich Lisa und Paul. Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass sie zusammen im A Seminar landen.
Antwort: [mm] N'=|Kom_{4}^{18}(o.W)|=\vektor{18 \\ 4}=3060 [/mm]

A2)
Eine Unverträglichkeit gegenüber einer Arznei komme bei 10% der Bevölkerung vor. Ein einfacher Bluttest erkennt diese Unverträglichkeit bei einer getesteten Person mit einer Wkeit von 0,9, jedoch entscheidet der Test auch bei 3% der getesteten Personen ohne Unverträglichkeit fälschlicherweise auf die Unverträglichkeit. Wir sagen, dass der Bluttest positiv ausfällt, falls er entscheidet, dass die Unverträglichkeit bei einer getesteten Person vorliegt. Seien A, B die folgenden Ereignisse:
A = "Test fällt positiv aus"
B = "Testperson besitzt Unverträglichkeit"

a) Geben Sie die Wkeiten P(B), [mm] P(B^{c}), [/mm] P(A|B), [mm] P(A|B^{c}), P(A^{c}|B), P(A^{c}|B^{c}) [/mm] an.
Lösungen:
P(B)=0,1 --> [mm] P(B^{c})=1-P(B)=0,9. [/mm]
P(A|B)=0,9
[mm] P(A|B^{c})=0,03 [/mm]
[mm] P(A^{c}|B)=1-P(A|B)=0,1 [/mm]
[mm] P(A^{c}|B^{c})=1-P(A|B^{c})=0.97 [/mm]

b) Mit welcher Wkeit fällt bei einer Person der Test positiv aus?
Lösung: [mm] P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|B^{c})P(B^{c})=0,117 [/mm]

c) Mit welcher Wkeit besitzt eine positiv getestete Person tatsächlich die Unverträglichkeit?
Lösung: Mit Satz von Bayes: [mm] P(B|A)=\bruch{P(B)P(A|B)}{P(B)P(A|B)+P(B^{c})P(A|B^{c})}= \bruch{10}{13} [/mm]

d)Mit welcher Wkeit liegt die Unverträglichkeit bei einer positiv getesteten Person nicht vor?
Lösung : [mm] P(B^{c}|A)=1-P(B|A)=\bruch{3}{13} [/mm]

A3)
Mit einem Startkapital von [mm] K_{0}=1 [/mm] Euro spielen Sie das folgende Glücksspiel. In jeder Runde wird eine faire Münze geworfen. Ihr Kapital nach der n-ten Runde wird wie folgt ermittelt:

[mm] K_(n)=\begin{cases} 2K_{n-1}, \mbox{der n-te Münzwurf zeigt Kopf} \\ 0,25K_{n-1}, \mbox{der n-te Münzwurf zeigt Zahl } \end{cases} [/mm]

Hinweis: Setzen Sie [mm] Y_{n}:=\begin{cases} 2, \mbox{der n-te Münzwurf zeigt Kopf} \\ 0,25, \mbox{der n-te Münzwurf zeigt Zahl } \end{cases} [/mm] , [mm] K_{n}=Y_{1}Y_{2}...Y_{n} [/mm] und [mm] X_{n}=log_{2}(Y_{n}) [/mm]

a) Berechnen Sie [mm] E(K_{n}) [/mm] und zeigen Sie [mm] E(K_{n})-->\infty [/mm]
Lösung: [mm] E(K_{n})=E(\produkt_{i=1}^{n}Y_{i})=\produkt_{i=1}^{n}E(Y_{i})=E(Y_{1})^{n}=(2*0,5+0,25*0,5)^{n}=(\bruch{9}{8})^{n} [/mm] Benutzt wurde die Unabhängigkeit der Würfe und deren gleiche Verteilung.
Da [mm] \bruch{9}{8}>1 [/mm] divergiert der Term nach unendlich für wachsende n.

b) Zeigen Sie: [mm] K_{n} [/mm] konvergiert p-stochastisch gegen 0
Lösung: zu zeigen ist: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}P(|K_{n}-0|>\epsilon)=0 [/mm] für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0
Sei [mm] \epsilon [/mm] > 0.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}P(|K_{n}-0|>\epsilon)=\limes_{n\rightarrow\infty}P(K_{n}>\epsilon) [/mm]
[mm] log_{2}(K_{n}) [/mm] ist monoton steigend, also gilt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}P(K_{n}>\epsilon)=\limes_{n\rightarrow\infty}P(log_{2}(K_{n})>log_{2}(\epsilon)). [/mm]

Hier weiß ich nicht weiter. Wenn ich zeigen könnte, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}log_{2}(K_{n})=0 [/mm] wäre ich fertig, aber das scheint nicht zu stimmen.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}log_{2}(K_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}log_{2}(\produkt_{i=1}^{n}Y_{i})=\summe_{i=1}^{n}log_{2}(Y_{i}) [/mm] =...=?
Jemand eine Ahnung?

A4)
Seien [mm] X_{1},...,X_{n} [/mm] unabhängig identisch verteilt mit [mm] P(X_{1}=k)=(1-\bruch{1}{\nu})^{k-1}*\bruch{1}{\nu} [/mm] mit [mm] k\in [/mm] IN und unbekanntem [mm] \nu \in (0,\infty). [/mm]
a)Stellen Sie die log-likelihood Funktion auf und bestimmten Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer [mm] \nu_{0} [/mm] von [mm] \nu. [/mm]
Lösung: [mm] L_{X}(\nu)=\produkt_{i=1}^{n}L_{X_{i}=x_{i}}(\nu)=\produkt_{i=1}^{n}(1-\bruch{1}{\nu})^{x_{i}-1}*\bruch{1}{\nu} [/mm]
[mm] =(1-\bruch{1}{\nu})^{\summe_{i=1}^{n}x_{i}-n}*(\bruch{1}{\nu})^{n} [/mm]
--> [mm] log(L_{X}(\nu))=-nlog(\nu)+(\summe_{i=1}^{n}x_{i}-n)log(1-\bruch{1}{\nu}) [/mm] mit den Log-Gesetzen.

[mm] \bruch{d}{d\nu}log(L_{X}(\nu))=-\bruch{n}{\nu}+(\summe_{i=1}^{n}x_{i}-n)\bruch{1}{1-\bruch{1}{\nu}}\bruch{1}{\nu^{2}}=0 [/mm]
[mm] \gdw \nu=x_{m}=:\nu_{0} [/mm] mit [mm] x_{m} [/mm] als arithmetisches Mittel der [mm] x_{i}. [/mm]

Zu zeigen bleibt, dass die zweite Ableitung bei [mm] \nu_{0}<0 [/mm] ist.
[mm] \bruch{d^{2}}{(d\nu)^{2}}log(L_{X}(\nu=x_{m}))=...=\bruch{n(x_{m}^{2}-x_{m})^{2}+(\summe_{i=1}^{n}x_{i}-n)(1-2x_{m})x_{m}}{x_{m}^{2}(x_{m}^{2}-x_{m})^{2}} [/mm]

Vorzeichen hängt nur von Zähler ab, da Nenner immer >0 wegen [mm] X_{i}>0. [/mm]
Es würde gelten: [mm] n(x_{m}^{2}-x_{m})^{2}+(\summe_{i=1}^{n}x_{i}-n)(1-2x_{m})x_{m}<0 [/mm]
[mm] \gdw (x_{m}^{2}-x_{m})^{2}+(x_{m}-1)(1-2x_{m})x_{m}<0 [/mm]
[mm] \gdw -x_{m}^{4}+x_{m}^{3}<0 [/mm] (*)

Wegen [mm] X_{i}\ge1 [/mm] ist [mm] x_{m}\ge1 [/mm] und daher [mm] x_{m}^{4}\ge x_{m}^{3}, [/mm] also [mm] -x_{m}^{4}+x_{m}^{3}\le0. [/mm]
Wegen [mm] \nu \in (1,\infty) [/mm] und [mm] \nu_{0}=x_{m} [/mm] betrachte hier nur [mm] x_{m}>1. [/mm] Damit gilt sogar (*) und [mm] \nu_{0}=x_{m} [/mm] ist ML Schätzer.
Für [mm] x_{m}=1 [/mm] gibt es keinen ML-Schätzer (?).

b) Ist [mm] \nu_{0} [/mm] erwartungstreu und konsistent?
Lösung: [mm] E(\nu_{0})=E(x_{m})=\bruch{1}{n}E(\summe_{i=1}^{n}X_{i})=E(X_{1})= \bruch{1}{\bruch{1}{\nu}}=\nu [/mm] Dabei wurde die Uanabhängigkeit, die identischen Verteilungen und die Kenntnis des Erwartungswertes der geometrischen Verteilung benutzt.
--> Erwartungstreu
Sei [mm] \epsilon>0. [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}P(|\nu_{0}-\nu|\ge\epsilon))\le\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{Var(\nu_{0})}{\epsilon^{2}} [/mm] nach der Tschebyscheff Ungleichung.
[mm] Var(\nu_{0})=\bruch{1}{n}Var(X_{i})=\bruch{1}{n}(\nu^{2}-\nu). [/mm]
[mm] -->\limes_{n\rightarrow\infty}P(|\nu_{0}-\nu|\ge\epsilon))\le\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\nu^{2}-\nu}{n\epsilon^{2}}=0. [/mm]
Mit [mm] P(.)\ge [/mm] 0 folgt auch die Konsistenz.

A5)
Bei einem Medikament wird vermutet, dass die Einnahme vermehrt zu Blutdrucksteigerung führt. Der Hersteller des Medikaments behauptet das Gegenteil und möchte nun absichern, dass die Zunahme des Blutdrucks seltener als in 25% der Fälle auftritt. Als Signifikanzniveau wird [mm] \alpha=0,05 [/mm] verwendet. Insgesamt werden n=24 Personen gefragt, ob bei ihnen nach Einnahme des Medikaments der Blutdruck gestiegen ist. Von den 24 getesteten Personen trat dabei bei 5 Personen eine Erhöhung des Blutdrucks auf. Wir gehen davon aus, dass die Personen unabhängig voneinander und mit gleicher Wahrscheinlichkeit [mm] p\in(0,1) [/mm] mit einer Erhöhung des Blutdrucks reagieren.

a) Formulieren Sie ein angemessenes Testproblem und stellen Sie die zugehörige Entscheidungsvorschrift auf. Begründen Sie dabei die Berechnung des kritischen Werts c durch Angabe der Tabellenwerte (im Anhang ist eine Tabelle der Binomialverteilung und der Normalverteilung).

Lösung:
Binomialmodell: [mm] Y:=\summe_{i=1}^{n}X_{i} [/mm] mit [mm] X_{i}~B(1,p), [/mm] also Y~B(n,p).
Ich war mir unsicher, was jetzt genau das "absichern" für die Hypothesen bedeutet. Ich will ja die Wkeit für einen Fehler erster Art minimieren. Das bedeutet, wenn [mm] H_{0} [/mm] gilt, darf der Test nur mit maximal [mm] \alpha [/mm] wahrscheinlich [mm] H_{1} [/mm] anzeigen.
Der Hersteller will nun definitiv beweisen, dass man die Aussage,  [mm] p\in [/mm] [0,25 ,1) verwerfen kann. Deswegen habe ich [mm] H_{0}=[0,25,1) [/mm] gewählt.
Also [mm] p\in \Theta:=H_{0}+H_{1}:=[0,25 [/mm] 1) + (0,0,25).

Unterer Binomialtest zu Niveau [mm] \alpha. [/mm]
Test [mm] \phi(Y)\begin{cases} 1, & \mbox{für } Y
Finde kritischen Wert c.
Nach Vorlesung ist der kritische Wert c im Falle [mm] np_{0}(1-p_{0})\ge [/mm] 9 durch [mm] c=np_{0}-\wurzel{np_{0}(1-p_{0})}\Phi(1-\alpha)^{-1} [/mm] gegeben, mit [mm] \Phi [/mm] als Verteilungsfunktion der stand. Normalverteilung. Die Bedingung ist hier aber nicht erfüllt [mm] (p_{0}=0,25). [/mm]

Bestimme c durch [mm] P_{p}(Y\alpha [/mm] für [mm] p\in H_{0}. [/mm]
[mm] P_{p}(Y [mm] P_{p}(Y [mm] \gdw P_{p_{0}}(Y\ge c)\ge 1-\alpha [/mm]
Die Verteilungsfuntkion für das p ist tabelliert.
c=3 wird abgelesen.
Dann gilt [mm] P_{p_{0}}(Y<3)=1-P_{p_{0}}(Y\ge 3)=1-0,09602=0,0398<0,05=\alpha [/mm]
und [mm] P_{p_{0}}(Y\le 3)=1-P_{p_{0}}(Y\ge 4)=(Tabelle)=1-0,88498=0,11502>0,05=\alpha. [/mm]

b) Welche Entscheidung ist aufgrund der vorliegenden Beobachtung zu treffen?

Wegen Y=5>3=c ist [mm] \phi(Y)=0. [/mm]
Die Nullhypothese kann daher nicht verworfen werden, der Hersteller konnte sein Ziel also nicht erreichen.

Meine Frage: Das heißt doch dann aber nicht, dass [mm] H_{1} [/mm] widerlegt bzw. [mm] H_{0} [/mm] bestätigt ist, oder? [mm] H_{0} [/mm] kann bloß nicht ausgeschlossen werden.


Vielen Dank fürs Lesen... war doch mehr als gedacht.

Viele Grüße
Jellal

Dann gilt

edit: dann gilt nichts mehr xD

        
Bezug
Probeklausur Lösungen: A1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:15 So 18.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ich werde mal jede Aufgabe (nach und nach) separat beantworten, damit das übersichtlicher wird…

> A1) 20 Studenten bewerben sich auf 12 freie Plätze in 3
> Seminaren: Seminar A: 6 Plätze
>  Seminar B: 4 Plätze
>  Seminar C: 2 Plätze
>  
> a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Studenten den
> Seminaren zuzuordnen.
>  Lösung: Annahmen: Studenten können mehrere Seminare
> besuchen, die Plätze innerhalb eines Seminar sind
> ununterscheidbar.

Ich finde deine Annahme unangebracht, dass die Studenten mehrere Seminare besuchen können. Ansonsten würde in der Aufgabenstellung nicht stehen:

> 12 freie Plätze in 3 Seminaren

Dann wäre die Info nämlich völlig überflüssig.
Die Annahme, dass die Plätze ununterscheidbar sind, ist ok.


>  Dann gilt für die gesamte Anzahl an Möglichkeiten

--> [mm]N=\vektor{20 \\ 6}\vektor{20 \\ 4}\vektor{20 \\ 2}=\bruch{(20!)^{3}}{6!4!2!(20-6)!(20-4)!(20-2)!}[/mm]
Im Rahmen deiner Annahmen: Ok. Aber das war dann ja auch nicht mehr schwer :-)

> Ich frage mich, ob das so reicht, oder ob man noch groß
> kürzen muss: [mm]N=9*10*17^{2}*19^{2}*20[/mm]

Tja, das ist eine Frage, die dir nur deine Korrektoren beantworten können. Im Normalfall merkt man sowas, wenn man Übungszettel abgibt und einfach mal nicht kürzt ;)
Mir persönlich würde die Lösung mit den Binomialkoeffizienten reichen, weil man erkennt, dass du die Aufgabe verstanden und korrekt gelöst hast. Das Kürzen ist ja nur noch eine Fingerübung… bei dem Wert oben allerdings kann das sogar noch ein Taschenrechner ausrechnen.
Wenn du niemanden mehr fragen willst, würde ich mich an folgendes halten: Geht das Kürzen leicht und fluffig, ist offensichtlich und vereinfacht Dinge, dann tu es. Müsstest du allein fürs Zusammenfassen nochmal 5 Minuten Arbeit reinstecken, lass es bleiben (selbst, wenn sie es erwarten…)

> b)Unter den 20 Studenten befinden sich Lisa und Paul. Wie
> viele Möglichkeiten gibt es, dass sie zusammen im A
> Seminar landen.
>  Antwort: [mm]N'=|Kom_{4}^{18}(o.W)|=\vektor{18 \\ 4}=3060[/mm]

Im Rahmen deiner Annahmen: Passt.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Probeklausur Lösungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:40 So 18.03.2018
Autor: Jellal

Hallo Gono,

vielen Dank erstmal, dass du dich der langwierigen Arbeit stellst^^"

Erst mal zu dieser Aufgabe:
Ich verstehe nicht, wieso die 12 Plätze-Angabe bei meiner Annahme überflüssig wäre. Es sind 12 Plätze in insgesamt drei Kursen vorhanden. Nun kann (wie im echten Leben) ein Student doch mehrere Kurse belegen, sodass er eben nicht einen Platz, sondern zwei oder drei der Plätze für sich in Anspruch nimmt (also nicht mehrere in einem Kurs, sondern maximal einen je Kurs).

Und zu der b). Ich zweifel gerade an meiner Lösung.
Müsste ich nicht noch [mm] |Kom_{4}^{18}(0.W)| [/mm] multiplizieren mit den Möglichkeiten, wie die anderen Kurse belegt werden?
Also [mm] |Kom_{4}^{18}(0.W)|*|Kom_{4}^{20}(o.W)|*|Kom_{2}^{20}(o.W)| [/mm] (mit meinen Annahmen)?

Bezug
                        
Bezug
Probeklausur Lösungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:26 Mo 19.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Erst mal zu dieser Aufgabe:
>  Ich verstehe nicht, wieso die 12 Plätze-Angabe bei meiner
> Annahme überflüssig wäre. Es sind 12 Plätze in
> insgesamt drei Kursen vorhanden.

> Nun kann (wie im echten Leben) ein Student doch mehrere Kurse belegen, sodass er eben nicht einen Platz, sondern zwei oder drei der Plätze für sich in Anspruch nimmt (also nicht mehrere in einem Kurs, sondern maximal einen je Kurs).

Ja, das kann man so lesen, dann ist aber die Info, dass es insgesamt 12 Plätze sind, total überflüssig.
Und es könnten genauso gut 3 Seminare zum selben Thema sein, welchen Sinn hätte es für den Studenten dann, alle 3 Seminare zu besuchen… oder wenn er nur eins braucht für sein Modul, oder oder oder :-)
Die Aufgabe ist da nicht eindeutig, aber ich finde in der Formulierung steckt implizit die Information "20 Studenten sind auf 12 Plätze zu verteilen" drin. Und das würde eine Doppelbelegung eben ausschließen.
  

> Und zu der b). Ich zweifel gerade an meiner Lösung.
>  Müsste ich nicht noch [mm]|Kom_{4}^{18}(0.W)|[/mm] multiplizieren
> mit den Möglichkeiten, wie die anderen Kurse belegt
> werden?

Auch hier ist die Aufgabe nicht eindeutig. Was sind unterschiedliche "Möglichkeiten"?
Deine Lösung ist korrekt, wenn man die Welt in "Studenten in Kurs A" und "Studenten nicht in Kurs A" unterteilt, was bei der Formulierung der Aufgabe durchaus Sinn macht. Was interessiert es Lisa und Paul in Kurs A, ob Jellal in Kurs B oder Kurs C sitzt?
Wenn das aber natürlich für irgendwen eine Rolle spielt, dann müsstest du die Kombinationsmöglichkeiten von Kurs B und Kurs C noch berücksichtigen.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Probeklausur Lösungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:53 Mo 19.03.2018
Autor: Jellal


> Hiho,
>  

>  Ja, das kann man so lesen, dann ist aber die Info, dass es
> insgesamt 12 Plätze sind, total überflüssig.
>  Und es könnten genauso gut 3 Seminare zum selben Thema
> sein, welchen Sinn hätte es für den Studenten dann, alle
> 3 Seminare zu besuchen… oder wenn er nur eins braucht
> für sein Modul, oder oder oder :-)
>  Die Aufgabe ist da nicht eindeutig, aber ich finde in der
> Formulierung steckt implizit die Information "20 Studenten
> sind auf 12 Plätze zu verteilen" drin. Und das würde eine
> Doppelbelegung eben ausschließen.

Glaubst du, das ist eine legitime Frage, die man in der Klausur stellen kann? Übrigens, die Fächer sind "Kombinatorik", "Kostenrechnung" und "Kosmetik". Ich habe sie A,B und C genannt, um sinnvoll zu abstrahieren, aber das ging hier dann wohl in die Hose xD Inhaltlich kann ein Student also gut und gerne alle drei Fächer wählen.

Ok, Annahme: Jeder Student darf nur einen der 12 Plätze belegen.
Dann gilt für die Anzahl der Möglichkeiten:
N= [mm] |Kom_{6}^{20}(o.W.)| [/mm] * [mm] |Kom_{4}^{14}(o.W.)| [/mm] * [mm] |Kom_{2}^{10}(o.W)| [/mm]
  

> > Und zu der b). Ich zweifel gerade an meiner Lösung.
>  >  Müsste ich nicht noch [mm]|Kom_{4}^{18}(0.W)|[/mm]
> multiplizieren
> > mit den Möglichkeiten, wie die anderen Kurse belegt
> > werden?
>
> Auch hier ist die Aufgabe nicht eindeutig. Was sind
> unterschiedliche "Möglichkeiten"?
> Deine Lösung ist korrekt, wenn man die Welt in "Studenten
> in Kurs A" und "Studenten nicht in Kurs A" unterteilt, was
> bei der Formulierung der Aufgabe durchaus Sinn macht. Was
> interessiert es Lisa und Paul in Kurs A, ob Jellal in Kurs
> B oder Kurs C sitzt?
> Wenn das aber natürlich für irgendwen eine Rolle spielt,
> dann müsstest du die Kombinationsmöglichkeiten von Kurs B
> und Kurs C noch berücksichtigen.

Ich glaube mittlerweile, man muss bzgl der anderen Kurse differenzieren. Vorher hat man halt alle Möglichkeiten der Verteilungen ausgerechnet. Jetzt wird nach allen "Möglichkeiten" gefragt, bei denen Lisa und Paul in der selben Gruppe sind. Im Kontext der Aufgabe scheint Möglichkeiten also die globalen Möglichkeiten zu meinen. Also Zusammensetzungen von Gruppe A inklusive Lisa und Paul spalten sich auf in die verschiedenen Möglichkeiten, wie die anderen zusammengesetzt sind.
In der Klausur kann man selbst ja eine kleine Bemerkung dazu schreiben, nach meiner vereinfachten Lösung zB. "Will man die Anzahl der Möglichkeiten auch nach der Zusammensetzung der anderen Gruppen differenzieren, so gilt blablub..."

Generell verstehe ich die fehlende Eindeutigkeit in einer Klausur nicht...


Bezug
                                        
Bezug
Probeklausur Lösungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:59 Di 20.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

  

> Glaubst du, das ist eine legitime Frage, die man in der Klausur stellen kann?

Ja, ich finde es aber deine Interpretation genauso legitim wie die Fragestellung… und so lange du das genauso ausführst, können sie dir in der Klausur auch keinen Strick drehen :-)
Auslegbare Formulierungen gehen immer zu Lasten des Fragestellers…

> Übrigens, die Fächer sind
> "Kombinatorik", "Kostenrechnung" und "Kosmetik". Ich habe
> sie A,B und C genannt, um sinnvoll zu abstrahieren, aber
> das ging hier dann wohl in die Hose xD Inhaltlich kann ein
> Student also gut und gerne alle drei Fächer wählen.

Da gebe ich dir recht.


  

> Ok, Annahme: Jeder Student darf nur einen der 12 Plätze
> belegen.
>  Dann gilt für die Anzahl der Möglichkeiten:
> N= [mm]|Kom_{6}^{20}(o.W.)|[/mm] * [mm]|Kom_{4}^{14}(o.W.)|[/mm] *
> [mm]|Kom_{2}^{10}(o.W)|[/mm]

[ok]
    

> Ich glaube mittlerweile, man muss bzgl der anderen Kurse
> differenzieren. Vorher hat man halt alle Möglichkeiten der
> Verteilungen ausgerechnet. Jetzt wird nach allen
> "Möglichkeiten" gefragt, bei denen Lisa und Paul in der
> selben Gruppe sind. Im Kontext der Aufgabe scheint
> Möglichkeiten also die globalen Möglichkeiten zu meinen.
> Also Zusammensetzungen von Gruppe A inklusive Lisa und Paul
> spalten sich auf in die verschiedenen Möglichkeiten, wie
> die anderen zusammengesetzt sind.
>  In der Klausur kann man selbst ja eine kleine Bemerkung
> dazu schreiben, nach meiner vereinfachten Lösung zB. "Will
> man die Anzahl der Möglichkeiten auch nach der
> Zusammensetzung der anderen Gruppen differenzieren, so gilt
> blablub..."

Jo
  

> Generell verstehe ich die fehlende Eindeutigkeit in einer
> Klausur nicht...

Alles nur Menschen :-) Und wenn wird eh meistens "im Zweifel für den Studenten" korrigiert… hinzu kommt: Alle Klausuraufgaben hat man meist als Übungsaufgabe bereits gerechnet (vllt. mit anderen Zahlen). In den Übungen sollte man das dann also besprochen haben und wissen, wie sie gemeint waren :-)

Gruß,
Gono

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Probeklausur Lösungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:55 Mi 21.03.2018
Autor: Jellal

Alles klar, danke dir :)



Bezug
        
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Probeklausur Lösungen: A2
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:52 So 18.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Lösungen:
> P(B)=0,1 --> [mm]P(B^{c})=1-P(B)=0,9.[/mm]
>  P(A|B)=0,9
>  [mm]P(A|B^{c})=0,03[/mm]
>  [mm]P(A^{c}|B)=1-P(A|B)=0,1[/mm]
>  [mm]P(A^{c}|B^{c})=1-P(A|B^{c})=0.97[/mm]

[ok]
  

> b) Mit welcher Wkeit fällt bei einer Person der Test
> positiv aus?
>  Lösung: [mm]P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|B^{c})P(B^{c})=0,117[/mm]
>  
> c) Mit welcher Wkeit besitzt eine positiv getestete Person
> tatsächlich die Unverträglichkeit?
>  Lösung: Mit Satz von Bayes:
> [mm]P(B|A)=\bruch{P(B)P(A|B)}{P(B)P(A|B)+P(B^{c})P(A|B^{c})}= \bruch{10}{13}[/mm]
>  
> d)Mit welcher Wkeit liegt die Unverträglichkeit bei einer
> positiv getesteten Person nicht vor?
>  Lösung : [mm]P(B^{c}|A)=1-P(B|A)=\bruch{3}{13}[/mm]

Alle deine Formeln sind korrekt angewandt… ich habe aber nicht nachgerechnet, ob du die Werte richtig in den Taschenrechner getippt hast… das trau ich dir zu bzw. ließe sich in der Klausur eh nicht verhindern ;-)

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Probeklausur Lösungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:43 So 18.03.2018
Autor: Jellal

Danke, ja es geht mir hier auch nur um die richtigen Wege.
Taschenrechner dürfen wir nicht benutzen, die Werte sind aber relativ human.

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Probeklausur Lösungen: A3
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:59 So 18.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> a) Berechnen Sie [mm]E(K_{n})[/mm] und zeigen Sie [mm]E(K_{n})-->\infty[/mm]
>  Lösung:
> [mm]E(K_{n})=E(\produkt_{i=1}^{n}Y_{i})=\produkt_{i=1}^{n}E(Y_{i})=E(Y_{1})^{n}=(2*0,5+0,25*0,5)^{n}=(\bruch{9}{8})^{n}[/mm]

[ok]

> b) Zeigen Sie: [mm]K_{n}[/mm] konvergiert p-stochastisch gegen 0
>  Lösung: zu zeigen ist:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}P(|K_{n}-0|>\epsilon)=0[/mm] für
> alle [mm]\epsilon[/mm] > 0
>  Sei [mm]\epsilon[/mm] > 0.

>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}P(|K_{n}-0|>\epsilon)=\limes_{n\rightarrow\infty}P(K_{n}>\epsilon)[/mm]
>  [mm]log_{2}(K_{n})[/mm] ist monoton steigend, also gilt
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}P(K_{n}>\epsilon)=\limes_{n\rightarrow\infty}P(log_{2}(K_{n})>log_{2}(\epsilon)).[/mm]

[ok]

>  
> Hier weiß ich nicht weiter. Wenn ich zeigen könnte, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}log_{2}(K_{n})=0[/mm] wäre ich
> fertig, aber das scheint nicht zu stimmen.

Korrekt, es gilt [mm] $\log(K_n) \to -\infty$, [/mm] dazu aber später mehr…

>  Jemand eine Ahnung?

Forme so um, dass du das schwache Gesetz der großen Zahlen für die [mm] $X_n$ [/mm] anwenden kannst… ich hoffe das reicht als Hinweis :-)

Das oben ist der "direkte" Weg. Man kann sogar zeigen, dass [mm] K_n [/mm] fast sicher gegen 0 konvergiert (darum gilt dann [mm] $\log(K_n) \to -\infty$), [/mm] daraus würde folgen, dass [mm] K_n [/mm] auch stochastisch gegen 0 geht. Das wäre dann der "indirekte" Weg. Du kannst das als Übung ja mal zeigen, der Weg wäre faktisch derselbe wie oben, nur mit [mm] $\lim$ [/mm] innnerhalb der Wahrscheinlichkeit und nicht außerhalb.

Gruß,
Gono



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Probeklausur Lösungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:31 So 18.03.2018
Autor: Jellal

Hmm. Also fast sichere Konvergenz hatten wir in der Vl nicht.

Für das schwache Gesetz der großen Zahlen müsste ich es so umschreiben:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}P(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}log_{2}(Y_{i})-\mu> \bruch{1}{n}log_{2}(\epsilon)-\mu) [/mm] mit [mm] \mu=E(log_{2}(Y_{i})=-0,5. [/mm]
Aber dann ist mein neues [mm] \epsilon' [/mm] rechts ja nicht konstant.
So geht es nicht. Vielleicht liegt der Schlüssel darin, aus dem > im vorherigen Term, das [mm] \ge [/mm] für das schwache Gesetz zu machen?
Keine Ahnung :(

edit: Moment, oder doch.
Der rechte Term läuft ja für [mm] n-->\infty [/mm] gegen 0,5 und nicht gegen -0,5. Der linke Term geht wegen des schwachen Gesetzes gegen 0.
Dann gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}P(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}log_{2}(Y_{i})-\mu> \bruch{1}{n}log_{2}(\epsilon)-\mu)=\limes_{n\rightarrow\infty}P(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}log_{2}(Y_{i})-\mu [/mm] >0,5)=0 nach dem schwachen Gesetz.
Damit ist auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}P(|K_{n}|>\epsilon)=0. [/mm]

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Probeklausur Lösungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 So 18.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> edit: Moment, oder doch.
>  Der rechte Term läuft ja für [mm]n-->\infty[/mm] gegen 0,5 und
> nicht gegen -0,5. Der linke Term geht wegen des schwachen Gesetzes gegen 0.

Grob ja… sauber argumentiert wäre das:
Sei $n$ so groß gewählt, so dass [mm] $\frac{1}{n}\log(\varepsilon) [/mm] - [mm] \mu [/mm] > 0.4$, dann gilt:

$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}P\left(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}log_{2}(Y_{i})-\mu> \bruch{1}{n}log_{2}(\epsilon)-\mu\right) \le \limes_{n\rightarrow\infty} P\left(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}log_{2}(Y_{i})-\mu > 0.4\right) [/mm] = 0 $
nach dem schwachen Gesetz der großen Zahlen mit [mm] $\varepsilon [/mm] = 0.4$

Gruß,
Gono


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Probeklausur Lösungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:39 So 18.03.2018
Autor: Jellal

Verstehe, dankeschön :)

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Probeklausur Lösungen: A4
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:30 So 18.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> A4)
>  Seien [mm]X_{1},...,X_{n}[/mm] unabhängig identisch verteilt mit
> [mm]P(X_{1}=k)=(1-\bruch{1}{\nu})^{k-1}*\bruch{1}{\nu}[/mm] mit [mm]k\in[/mm] IN und unbekanntem [mm]\nu \in (0,\infty).[/mm]

Bist du sicher, dass da [mm] $\nu \in (0,\infty)$ [/mm] und nicht [mm] $\nu \in (1,\infty)$ [/mm] steht?
Für [mm] $\nu \in [/mm] (0,1)$ wäre [mm] $\frac{1}{\nu} [/mm] > 1$ und damit wäre [mm] $P(X_{1}=k)=(1-\bruch{1}{\nu})^{k-1}*\bruch{1}{\nu}$ [/mm] nicht wohldefiniert.
Eigentlich soll ja $p = [mm] \frac{1}{\nu}$ [/mm] eine Wahrscheinlichkeit sein… für [mm] $\nu \in [/mm] (0,1)$ wäre es eben keine mehr…

Und eine Bitte… achte doch drauf vor Zahlbereichen wie [mm] $\IN$ [/mm] den Backslash nicht zu vergessen ^^

> [mm]log(L_{X}(\nu))=-nlog(\nu)+(\summe_{i=1}^{n}x_{i}-n)log(1-\bruch{1}{\nu})[/mm]
> mit den Log-Gesetzen.

[ok]
  

> [mm]\bruch{d}{d\nu}log(L_{X}(\nu))=-\bruch{n}{\nu}+(\summe_{i=1}^{n}x_{i}-n)\bruch{1}{1-\bruch{1}{\nu}}\bruch{1}{\nu^{2}}=0[/mm]
> [mm]\gdw \nu=x_{m}=:\nu_{0}[/mm] mit [mm]x_{m}[/mm] als arithmetisches Mittel
> der [mm]x_{i}.[/mm]

[ok] (unter Einschränkungen, dazu unten mehr ^^)

> Zu zeigen bleibt, dass die zweite Ableitung bei [mm]\nu_{0}<0[/mm]
> ist.
>  
> [mm]\bruch{d^{2}}{(d\nu)^{2}}log(L_{X}(\nu=x_{m}))=...=\bruch{n(x_{m}^{2}-x_{m})^{2}+(\summe_{i=1}^{n}x_{i}-n)(1-2x_{m})x_{m}}{x_{m}^{2}(x_{m}^{2}-x_{m})^{2}}[/mm]
>  
> Vorzeichen hängt nur von Zähler ab, da Nenner immer >0
> wegen [mm]X_{i}>0.[/mm]
>  Es würde gelten:
> [mm]n(x_{m}^{2}-x_{m})^{2}+(\summe_{i=1}^{n}x_{i}-n)(1-2x_{m})x_{m}<0[/mm]
>  [mm]\gdw (x_{m}^{2}-x_{m})^{2}+(x_{m}-1)(1-2x_{m})x_{m}<0[/mm]
>  
> [mm]\gdw -x_{m}^{4}+x_{m}^{3}<0[/mm] (*)
>  
> Wegen [mm]X_{i}\ge1[/mm] ist [mm]x_{m}\ge1[/mm] und daher [mm]x_{m}^{4}\ge x_{m}^{3},[/mm]
> also [mm]-x_{m}^{4}+x_{m}^{3}\le0.[/mm]
>  Wegen [mm]\nu \in (1,\infty)[/mm]

Ach jetzt plötzlich doch [mm]\nu \in (1,\infty)[/mm] ? ;-)

> und [mm]\nu_{0}=x_{m}[/mm] betrachte hier
> nur [mm]x_{m}>1.[/mm] Damit gilt sogar (*) und [mm]\nu_{0}=x_{m}[/mm] ist ML
> Schätzer.
>  Für [mm]x_{m}=1[/mm] gibt es keinen ML-Schätzer (?).

Jein… für [mm] $\nu [/mm] = [mm] x_m [/mm] = 1$ ist die Log-Likelihood-Funktion nicht definiert (weil du den Logarithmus von 0 bilden würdest). In solchen Fällen müsste man die Likelihood-Funktion auf Minimalstellen untersuchen, da diese ja mit der Log-Likelihood-Funktion übereinstimmen… aber rein technisch spielt das keine Rolle, da [mm] $\mu [/mm] > 1$ geht die Wahrscheinlichkeit für [mm] $x_m [/mm] = 1$ gegen Null für [mm] $n\to\infty$. [/mm] Ist also [mm] $x_m [/mm] = 1$ vergrößert man einfach das $n$ bis [mm] $x_m [/mm] > 1$

>  
> b) Ist [mm]\nu_{0}[/mm] erwartungstreu und konsistent?
>  Lösung:
> [mm]E(\nu_{0})=E(x_{m})=\bruch{1}{n}E(\summe_{i=1}^{n}X_{i})=E(X_{1})= \bruch{1}{\bruch{1}{\nu}}=\nu[/mm]

[ok]

> Mit $ [mm] P(.)\ge [/mm] $ 0 folgt auch die Konsistenz.

[ok]



Gruß,
Gono

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Probeklausur Lösungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:55 So 18.03.2018
Autor: Jellal

Tut mir leid wegen des [mm] (0,\infty). [/mm] Habe es beim Durchlesen nur an der unteren Stelle bemerkt ~~

Was würdest du in einer Klausur schreiben für [mm] x_{m}=1. [/mm]
Einfach: Wegen p ungleich 1 ist [mm] x_{m} [/mm] für hohe n ungleich 1.
Dann käme vllt der Korrektor und sagt "aber was ist für tiefe n?".

Ist [mm] x_{m}=1, [/mm] so ist die Likelihood doch im Grunde genommen einfach [mm] L=\bruch{1}{\nu^{n}} [/mm] und das ist maximal für [mm] \nu=1. [/mm] Der ML-Schätzer ist das Supremum der L Funktion in [mm] \nu, [/mm] nicht das Maximum (oder?), sodass [mm] \nu=1 [/mm] zulässig ist und auch intuitiv Sinn ergibt, da ich halt immer Erfolg hatte.

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Probeklausur Lösungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:34 Mo 19.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ist [mm]x_{m}=1,[/mm] so ist die Likelihood doch im Grunde genommen
> einfach [mm]L=\bruch{1}{\nu^{n}}[/mm] und das ist maximal für
> [mm]\nu=1.[/mm]

Korrekt. ABER: [mm] $\nu [/mm] = 1$ ist keine gültige Lösung im Wertebereich [mm] $\nu \in (1,\infty)$ [/mm]

> Der ML-Schätzer ist das Supremum der L Funktion in [mm]\nu,[/mm] nicht das Maximum (oder?),

Da stecke ich leider nicht genug in der Thematik drin.

> sodass [mm]\nu=1[/mm] zulässig ist und auch intuitiv Sinn ergibt, da ich halt immer Erfolg hatte.

Sehe ich aber genauso…

Gruß,
Gono


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Probeklausur Lösungen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Di 20.03.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Probeklausur Lösungen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 01:13 Fr 23.03.2018
Autor: Jellal

Kann sich vielleicht noch jemand die Aufgabe 5 ansehen :)?

Gruß
Jellal

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Probeklausur Lösungen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:25 Mo 26.03.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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