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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Do 22.10.2015 | | Autor: | Physis |
| Aufgabe | Überprüfen Sie die folgenden Aussagen auf ihre Wahrheitswerte hin:
(1) [mm] $\exists [/mm] x [mm] (E_1(x) \wedge E_2(x)) \Rightarrow \exists [/mm] x [mm] E_1(x) \wedge \exists [/mm] x [mm] E_2(x)$
[/mm]
(2) [mm] $\forall [/mm] x [mm] (E_1(x) \vee E_2(x)) \Rightarrow \exists [/mm] x [mm] E_1(x) \wedge \exists [/mm] x [mm] E_2(x))$ [/mm] |
Hallo zusammen,
ich frage mich bei dieser Aufgabe, wie ich das genau beweisen muss. Bei Nummer (1) habe ich mir gedacht, ich könne die beiden Aussagen
[mm] $E_1(x): [/mm] x [mm] \le [/mm] 0$
[mm] $E_2(x): [/mm] x [mm] \ge [/mm] 0$
nehmen. Dann gibt es ein $x [mm] \in \IR$, [/mm] für das gilt, dass es kleiner/gleich und größer/gleich 0 ist, nämlich $x = 0$. Allerdings muss daraus ja nicht zwangsläufig folgen, dass es ein $x [mm] \le [/mm] 0$ gibt und ein $x [mm] \ge [/mm] 0$. Ich denke, die zwei $x$ auf der rechten Seite sind verschieden, oder?
Wenn bei (2) alle $x$ entweder die eine oder die andere Eigenschaft haben, muss es ja auch so sein, dass es $x$'e gibt, die die erste Eigenschaft haben, und andere $x$'e, für die die zweite Eigenschaft gilt. Stimmt das? Und wenn ja, wie müsste man das formalisieren?
Vielen Dank schon mal :)
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Physis
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Überprüfen Sie die folgenden Aussagen auf ihre
> Wahrheitswerte hin:
> (1) [mm]\exists x (E_1(x) \wedge E_2(x)) \Rightarrow \exists x E_1(x) \wedge \exists x E_2(x)[/mm]
>
> (2) [mm]\forall x (E_1(x) \vee E_2(x)) \Rightarrow \exists x E_1(x) \wedge \exists x E_2(x)[/mm]
> Bei Nummer (1) habe ich mir gedacht, ich
> könne die beiden Aussagen
>
> [mm]E_1(x): x \le 0[/mm]
> [mm]E_2(x): x \ge 0[/mm]
>
> nehmen.
Was willst du mit dem Beispiel bezwecken ?
Bedenke, dass du eine allgemein formulierte logische All-Aussage
niemals durch irgendein konkretes Beispiel beweisen kannst.
> .....
> .....
> Ich denke, die zwei [mm]x[/mm]
> auf der rechten Seite sind verschieden, oder?
Es wird keineswegs vorausgesetzt, dass diese Werte verschieden
sein müssen, aber man könnte die Aussage (1) der Klarheit
halber beispielsweise auch mit unterschiedlichen Variablen
so formulieren:
(1) [mm]\exists x (E_1(x) \wedge E_2(x)) \Rightarrow \exists y E_1(y) \wedge \exists z E_2(z)[/mm]
> Wenn bei (2) alle [mm]x[/mm] entweder die eine oder die andere
> Eigenschaft haben, muss es ja auch so sein, dass es [mm]x[/mm]'e
> gibt, die die erste Eigenschaft haben, und andere [mm]x[/mm]'e, für
> die die zweite Eigenschaft gilt. Stimmt das?
Nein, das stimmt nicht. Diesen Gegenbeweis kann man mittels
eines Beispiels führen.
Ich schlage für eine Variable x , welche für natürliche
Zahlen größer als 1 stehen soll, zum Beispiel folgende Aussagen [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2
[/mm]
vor:
[mm] E_1(x) [/mm] : "x ist (in [mm] \IN) [/mm] durch wenigstens eine Primzahl teilbar"
[mm] E_2(x): [/mm] "x ist (in [mm] \IN) [/mm] durch jede Primzahl teilbar"
Oder du könntest x als eine Variable für (heute, 2015, lebende) Menschen
nehmen und:
[mm] E_1(x) [/mm] : "x wurde auf der Erde geboren" (***)
[mm] E_2(x): [/mm] "x hat seinen 80. Geburtstag auf dem Mond verbracht"
Alles klar ?
LG , Al-Chwarizmi
(***) Für jemand, der z.B. nicht "auf festem Boden" , sondern etwa
in einem Untergeschoss, auf einem Schiff oder in einem Flugzeug
geboren wurde, soll die Aussage [mm] E_1 [/mm] natürlich auch noch gelten ...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Fr 23.10.2015 | | Autor: | Physis |
Hallo :)
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> > Bei Nummer (1) habe ich mir gedacht, ich
> > könne die beiden Aussagen
> >
> > [mm]E_1(x): x \le 0[/mm]
> > [mm]E_2(x): x \ge 0[/mm]
> >
> > nehmen.
>
> Was willst du mit dem Beispiel bezwecken ?
> Bedenke, dass du eine allgemein formulierte logische
> All-Aussage
> niemals durch irgendein konkretes Beispiel beweisen
> kannst.
Das war mir klar, ich habe versucht, ein konkretes Gegenbeispiel zu finden (hätte ich vielleicht dazu sagen müssen). Mein Problem war, glaub ich, dass ich mir nicht sicher war, ob man alternativ auch
[mm] $\exists [/mm] x [mm] (E_1(x) \wedge E_2(x)) \Rightarrow \exists [/mm] y [mm] E_1(y) \wedge \exists [/mm] z [mm] E_2(z)$
[/mm]
schreiben konnte. Wenn das geht, ist die Formel dann wahr? Wenn ein $x$ zwei Eigenschaften besitzt, dann gibt es auch mindestens ein $y$ und ein $z$ die jeweils eine Eigenschaft haben, nämlich $x = y = z$, oder?
>
> Oder du könntest x als eine Variable für (heute, 2015,
> lebende) Menschen
> nehmen und:
>
> [mm]E_1(x)[/mm] : "x wurde auf der Erde geboren" (***)
>
> [mm]E_2(x):[/mm] "x hat seinen 80. Geburtstag auf dem Mond
> verbracht"
>
> Alles klar ?
>
Ok, wenn ich die linke Seite von Formel (2) mit den o.g. Eigenschaften versprachliche, hätte ich:
"Alle heute lebenden Menschen wurden auf der Erde geboren oder hatten ihren 80. Geburtstag auf dem Mond."
Diese Aussage ist wahr, da [mm] $E_1$ [/mm] ja gültig ist und somit die Disjunktion wahr ist. Auf der rechten Seite steht dann:
"Es gibt (mindestens) einen Menschen, der auf der Erde geboren wurde, und es gibt (mindestens) einen Menschen, der seinen 80. Geburtstag auf dem Mond hatte."
Da diese Aussage offensichtlich nicht wahr ist, wird die Implikation als Ganzes ebenfalls unwahr, da der erste Teil wahr, der zweite aber unwahr ist. Kann man so argumentieren?
Liebe Grüße :)
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Guten Abend !
>> Bedenke, dass du eine allgemein formulierte logische
>> All-Aussage niemals durch irgendein konkretes Beispiel
>> beweisen kannst.
>
> Das war mir klar, ich habe versucht, ein konkretes
> Gegenbeispiel zu finden (hätte ich vielleicht dazu sagen
> müssen). Mein Problem war, glaub ich, dass ich mir nicht
> sicher war, ob man alternativ auch
>
> [mm]\exists x (E_1(x) \wedge E_2(x)) \Rightarrow \exists y E_1(y) \wedge \exists z E_2(z)[/mm]
>
> schreiben konnte. Wenn das geht, ist die Formel dann wahr?
> Wenn ein [mm]x[/mm] zwei Eigenschaften besitzt, dann gibt es auch
> mindestens ein [mm]y[/mm] und ein [mm]z[/mm] die jeweils eine Eigenschaft
> haben, nämlich [mm]x = y = z[/mm], oder?
Die Formel ist wahr. Falls es ein x gibt, welches die Eigenschaften
[mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] besitzt (bezeichnen wir einen dieser möglichen Werte
von x beispielsweise mit [mm] x_0 [/mm] ) , dann gibt es offensichtlich ein y
mit der Eigenschaft [mm] E_1, [/mm] nämlich [mm] y:=x_0 [/mm] . Ebenso gibt es ein z
mit [mm] E_2(z) [/mm] , nämlich [mm] z:=x_0 [/mm] , denn dann ist ja [mm] E_2(z)=E_2(x_0) [/mm] , und [mm] E_2(x_0)
[/mm]
ist wahr.
> > .....
> > Oder du könntest x als eine Variable für (heute, 2015,
> > lebende) Menschen nehmen und:
> >
> > [mm]E_1(x)[/mm] : "x wurde auf der Erde geboren" (***)
> >
> > [mm]E_2(x):[/mm] "x hat seinen 80. Geburtstag auf dem Mond verbracht"
> Ok, wenn ich die linke Seite von Formel (2) mit den o.g.
> Eigenschaften versprachliche, hätte ich:
>
> "Alle heute lebenden Menschen wurden auf der Erde geboren
> oder hatten ihren 80. Geburtstag auf dem Mond."
>
> Diese Aussage ist wahr, da [mm]E_1[/mm] ja gültig ist und somit die
> Disjunktion wahr ist. Auf der rechten Seite steht dann:
>
> "Es gibt (mindestens) einen Menschen, der auf der Erde
> geboren wurde, und es gibt (mindestens) einen Menschen, der
> seinen 80. Geburtstag auf dem Mond hatte."
>
> Da diese Aussage offensichtlich nicht wahr ist, wird die
> Implikation als Ganzes ebenfalls unwahr, da der erste Teil
> wahr, der zweite aber unwahr ist. Kann man so
> argumentieren?
Ja, das sollte gehen. Wie formal aber eure Argumentationen
dargestellt werden sollten, weiß ich halt nicht ...
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Sa 24.10.2015 | | Autor: | Physis |
Hallo
> [...]
>
> Die Formel ist wahr. Falls es ein x gibt, welches die
> Eigenschaften
> [mm]E_1[/mm] und [mm]E_2[/mm] besitzt (bezeichnen wir einen dieser
> möglichen Werte
> von x beispielsweise mit [mm]x_0[/mm] ) , dann gibt es
> offensichtlich ein y
> mit der Eigenschaft [mm]E_1,[/mm] nämlich [mm]y:=x_0[/mm] . Ebenso gibt
> es ein z
> mit [mm]E_2(z)[/mm] , nämlich [mm]z:=x_0[/mm] , denn dann ist ja
> [mm]E_2(z)=E_2(x_0)[/mm] , und [mm]E_2(x_0)[/mm]
> ist wahr.
>
> [...]
>
> Ja, das sollte gehen. Wie formal aber eure
> Argumentationen
> dargestellt werden sollten, weiß ich halt nicht ...
>
Ok, das hat mir geholfen. Ich denke, so sollte es gehen. Vielen Dank :)
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