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Forum "Folgen und Reihen" - Potenzreihenentwicklung
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Potenzreihenentwicklung: Tipp für Problem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:21 Fr 03.07.2015
Autor: smoot

Aufgabe
[mm] \bruch{1}{x^{2} + 2x + 2} [/mm]

Entwicklungspunkt [mm] x_0 [/mm] = 0


Guten Tag,

[mm] \bruch{1}{x^{2} + 2x + 2} [/mm]

Nullstellen bestimmen/ Faktor Zerlegung:

[mm] x^{2} [/mm] + 2x + 2 = 0            

x1 = -1 + j und x2 = -1 - j

[mm] \bruch{1}{(x + 1 + j)(x + 1 - j)} [/mm]

Partialbruchzerlegung:

[mm] \bruch{A}{(x + 1 + j)}+\bruch{B}{(x + 1 - j)} [/mm]

Koeffizientenvergleich:

A + B = 0 und A + B - jA + jB = 1

=> A = [mm] -\bruch{1}{2j} [/mm] und B = [mm] \bruch{1}{2j} [/mm]

=> [mm] \bruch{\bruch{1}{2j}}{(x+1-j)} [/mm] - [mm] \bruch{\bruch{1}{2j}}{(x + 1 +j)} [/mm]

mit 1 - j = [mm] z_1 [/mm] und 1 + j = [mm] z_2 [/mm]

=> [mm] \bruch{1}{2j} \summe_{k = 0}^{\infty} z_1^{k} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2j} \summe_{k = 0}^{\infty} z_2^{k} [/mm]

=> [mm] \bruch{1}{2j} (\summe_{k = 0}^{\infty} z_1^{k} [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{\infty} z_2^{k}) [/mm]

Frage:

1.)
Soweit so gut, jedoch ist in der Aufgabe nach einer reellen Darstellung gefragt. Jedoch komme ich, wenn ich den Nenner und Zähler reell mache, wieder auf den Ausgangsbruch der Aufgabenstellung zurück..

2.)
Weiter soll mit Hilfe des Resultats eine Taylorreihe für arctan (x) entwickelt werden.

Also erstmal :

f(x)  = arctan (x)

f'(x) = [mm] \bruch{1}{1 + x^{2}} [/mm]

Nun sehe ich jedoch keine Ähnlichkeit bzw. keine geeignete Substitution, um meine Reihe in diese Form zubringen.

Danke für eure Hilfe.

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.




        
Bezug
Potenzreihenentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 Fr 03.07.2015
Autor: abakus

Hallo,
x²+2x+2= x²+2x+1+1=(x+1)²+1.
Die Substitution (x+1)=z macht daraus z²+1.

Gruß Abakus

Bezug
                
Bezug
Potenzreihenentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:56 Fr 03.07.2015
Autor: smoot

Wäre die Reihendarstellung demnach dann:

[mm] \bruch{1}{1+(x+1)^{2}} [/mm] mit q = (x+1) ;|q|< 1

=> [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (q^{2})^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (x+1)^{2k} [/mm]

?

Bezug
                        
Bezug
Potenzreihenentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Fr 03.07.2015
Autor: fred97


> Wäre die Reihendarstellung demnach dann:
>  
> [mm]\bruch{1}{1+(x+1)^{2}}[/mm] mit q = (x+1) ;|q|< 1
>  
> => [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (q^{2})^{k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (x+1)^{2k}[/mm]
>  

Wenn nach der Entwicklung um [mm] x_0=-1 [/mm] gefragt wäre, so stimmt das fast.

Die geometrische Reihe lautet  

[mm] \summe_{k=0}^{\infty}q^k=\bruch{1}{1-q} [/mm]  für |q|<1

> ?


Damit ist [mm] \bruch{1}{1+(x+1)^{2}}=\bruch{1}{1-(-(x+1)^{2})}=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k(x+1)^{2k} [/mm]  für |x+1|<1

Allerdings solltest Du die Entwicklung um [mm] x_0=0 [/mm] fabrizieren !

FRED

Bezug
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