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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Polarkoordinaten
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Polarkoordinaten: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:46 Di 22.03.2016
Autor: Rebellismus

Aufgabe
a)

Stellen Sie folgende Zahlen in Polarkoordinaten dar:

-2, 1-i, [mm] \bruch{1}{2}(1-i\wurzel{3}) [/mm]

b)

Berechnen Sie Real- und Imaginärteil folgender zahlen und skizzieren Sie diese in der Gaußschen Zahlenebene:

[mm] \overline{1-2i}*\bruch{1}{i} [/mm]

[mm] \bruch{2-i}{1+2i} [/mm]

[mm] \bruch{1-i}{\wurzel{2}} [/mm]

[mm] |(\bruch{1-i}{\wurzel{2}})^{42}| [/mm]

Polarkoordinaten haben die folgende Form:

[mm] r*e^{i*\varphi} [/mm]

Ich würde gerne wissen wie man den winkel [mm] \varphi [/mm] bestimmt. Dazu habe ich das folgende Koordinatensystem gezecihnet

[Dateianhang nicht öffentlich]

Im ersten Quadranten (roter bereich) gilt:

[mm] \varphi=tan^{-1}(\bruch{x}{y})=cos^{-1}(\bruch{x}{r})=sin^{-1}(\bruch{y}{r}) [/mm]

Im zweiten Quadranten (blauer bereich) gilt:

[mm] \varphi=\pi+tan^{-1}(\bruch{x}{y})=\pi-cos^{-1}(\bruch{x}{r})=\pi+sin^{-1}(\bruch{y}{r}) [/mm]

Im Dritten Quadranten (grüner bereich) gilt dasselbe wie im zweiten Quadranten:

[mm] \varphi=\pi+tan^{-1}(\bruch{x}{y})=\pi-cos^{-1}(\bruch{x}{r})=\pi+sin^{-1}(\bruch{y}{r}) [/mm]

Im vierten quadranten (gelber bereich) gilt:

[mm] \varphi=2\pi+tan^{-1}(\bruch{x}{y})=2\pi-cos^{-1}(\bruch{x}{r})=2\pi+sin^{-1}(\bruch{y}{r}) [/mm]

Stimmt das?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Polarkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:05 Di 22.03.2016
Autor: M.Rex

Hallo

> a)

>

> Stellen Sie folgende Zahlen in Polarkoordinaten dar:

>

> -2, 1-i, [mm]\bruch{1}{2}(1-i\wurzel{3})[/mm]

Es gilt doch, wie du []hier bzw []hier (Sehr ausführlich) nachlesen kannst:

- Den Radius r einer komplexen Zahl z=x+iy bestimmst du mit [mm] r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} [/mm]

- Den Winkel [mm] \varphi [/mm] einer komplexen Zahl z=x+iy bestimmst du mit [mm] \varphi=sgn(y)\cdot\arccos\left(\frac{x}{r}\right) [/mm]
sgn(y) ist dabei die Signum-Funktion, die das Vorzeichen von y übernimmt, daher nuztz du manchmal auch die Schreibweise [mm] \varphi=\pm_{y}\arccos\left(\frac{x}{r}\right) [/mm]

Gängigerweise nutzt man zwat die Beziehung [mm] \tan(\varphi)=\frac{y}{x}, [/mm] das führt aber zu eingen Fallunterscheidungen, die du ja unten noch erledigt hast.



>

> b)

>

> Berechnen Sie Real- und Imaginärteil folgender zahlen und
> skizzieren Sie diese in der Gaußschen Zahlenebene:

>

> [mm]\overline{1-2i}*\bruch{1}{i}[/mm]

>

> [mm]\bruch{2-i}{1+2i}[/mm]

>

> [mm]\bruch{1-i}{\wurzel{2}}[/mm]

>

> [mm]|(\bruch{1-i}{\wurzel{2}})^{42}|[/mm]
> Polarkoordinaten haben die folgende Form:

>

> [mm]r*e^{i*\varphi}[/mm]

>

> Ich würde gerne wissen wie man den winkel [mm]\varphi[/mm]
> bestimmt. Dazu habe ich das folgende Koordinatensystem
> gezecihnet

>

> [Dateianhang nicht öffentlich]

>

> Im ersten Quadranten (roter bereich) gilt:

>

> [mm]\varphi=tan^{-1}(\bruch{x}{y})=cos^{-1}(\bruch{x}{r})=sin^{-1}(\bruch{y}{r})[/mm]

>

> Im zweiten Quadranten (blauer bereich) gilt:

>

> [mm]\varphi=\pi+tan^{-1}(\bruch{x}{y})=\pi-cos^{-1}(\bruch{x}{r})=\pi+sin^{-1}(\bruch{y}{r})[/mm]

>

> Im Dritten Quadranten (grüner bereich) gilt dasselbe wie
> im zweiten Quadranten:

>

> [mm]\varphi=\pi+tan^{-1}(\bruch{x}{y})=\pi-cos^{-1}(\bruch{x}{r})=\pi+sin^{-1}(\bruch{y}{r})[/mm]

>

> Im vierten quadranten (gelber bereich) gilt:

>

> [mm]\varphi=2\pi+tan^{-1}(\bruch{x}{y})=2\pi-cos^{-1}(\bruch{x}{r})=2\pi+sin^{-1}(\bruch{y}{r})[/mm]

>

> Stimmt das?

Beim Tangens hast du jeweils x und y vertauscht, es gilt:

[mm] \tan(\varphi)=\frac{y}{x} [/mm]

Marius

Bezug
                
Bezug
Polarkoordinaten: Fehler in Fallunterscheidung?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:23 Di 22.03.2016
Autor: Rebellismus

Die Frage hat sich erledigt
Bezug
        
Bezug
Polarkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:23 Di 22.03.2016
Autor: fred97


> a)
>  
> Stellen Sie folgende Zahlen in Polarkoordinaten dar:
>  
> -2, 1-i, [mm]\bruch{1}{2}(1-i\wurzel{3})[/mm]

Ergänzend zu Marius:

Deine Zeichnung und Deine Überlegungen sind ja löblich, aber bei obigen komplexen Zahlen kommt man doch mit Mittelstufentrigonometrie zum Ziel.

Mach Dir jeweils ein Bild , dann solltest Du sehen:

bei -2 ist [mm] \varphi= \pi; [/mm]

bei 1-i ist [mm] \varphi=-\bruch{\pi}{4} [/mm]  (oder  [mm] \varphi=\bruch{7 \pi}{4} [/mm] );

bei [mm] \bruch{1}{2}(1-i\wurzel{3}) [/mm] ist [mm] \varphi=-\bruch{\pi}{6} [/mm]  (oder  [mm] \varphi=\bruch{11 \pi}{6} [/mm] )

FRED

>  
> b)
>  
> Berechnen Sie Real- und Imaginärteil folgender zahlen und
> skizzieren Sie diese in der Gaußschen Zahlenebene:
>  
> [mm]\overline{1-2i}*\bruch{1}{i}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{2-i}{1+2i}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1-i}{\wurzel{2}}[/mm]
>  
> [mm]|(\bruch{1-i}{\wurzel{2}})^{42}|[/mm]
>  Polarkoordinaten haben die folgende Form:
>  
> [mm]r*e^{i*\varphi}[/mm]
>  
> Ich würde gerne wissen wie man den winkel [mm]\varphi[/mm]
> bestimmt. Dazu habe ich das folgende Koordinatensystem
> gezecihnet
>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> Im ersten Quadranten (roter bereich) gilt:
>  
> [mm]\varphi=tan^{-1}(\bruch{x}{y})=cos^{-1}(\bruch{x}{r})=sin^{-1}(\bruch{y}{r})[/mm]
>  
> Im zweiten Quadranten (blauer bereich) gilt:
>  
> [mm]\varphi=\pi+tan^{-1}(\bruch{x}{y})=\pi-cos^{-1}(\bruch{x}{r})=\pi+sin^{-1}(\bruch{y}{r})[/mm]
>  
> Im Dritten Quadranten (grüner bereich) gilt dasselbe wie
> im zweiten Quadranten:
>  
> [mm]\varphi=\pi+tan^{-1}(\bruch{x}{y})=\pi-cos^{-1}(\bruch{x}{r})=\pi+sin^{-1}(\bruch{y}{r})[/mm]
>  
> Im vierten quadranten (gelber bereich) gilt:
>  
> [mm]\varphi=2\pi+tan^{-1}(\bruch{x}{y})=2\pi-cos^{-1}(\bruch{x}{r})=2\pi+sin^{-1}(\bruch{y}{r})[/mm]
>  
> Stimmt das?


Bezug
                
Bezug
Polarkoordinaten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:29 Mi 23.03.2016
Autor: Rebellismus

Hallo,


> bei [mm]\bruch{1}{2}(1-i\wurzel{3})[/mm] ist [mm]\varphi=-\bruch{\pi}{6}[/mm]
>  (oder  [mm]\varphi=\bruch{11 \pi}{6}[/mm] )

Hier hast du dich verrechnet. ich komme auf [mm] \varphi=\bruch{5\pi}{3} [/mm]

Meine Ergebnisse:


[mm] z_1=-2=2e^{i\pi} [/mm]

[mm] z_2=1-i=\wurzel{2}e^{i\bruch{7\pi}{4}} [/mm]

[mm] z_3=\bruch{1}{2}(1-i\wurzel{3})=1e^{i\bruch{5\pi}{3}} [/mm]

die frage hat sich erledigt



Bezug
        
Bezug
Polarkoordinaten: aufgabe b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:19 Mi 23.03.2016
Autor: Rebellismus

[mm] z_1=\overline{1-2i}*\bruch{1}{i}=\bruch{1}{i-2i^2}=\bruch{1}{2+i}*\bruch{2-i}{2-i}=\bruch{2-i}{5}=\bruch{2}{5}-\bruch{1i}{5} [/mm]

Realteil ist [mm] Re(z_1)=\bruch{2}{5} [/mm]
Imaginärteil ist [mm] Im(z_1)=-\bruch{1}{5} [/mm]


[mm] z_2=\bruch{2-i}{1+2i}=\bruch{2-i}{1+2i}*\bruch{1-2i}{1-2i}=\bruch{2-2i-i+2i^2}{5}=\bruch{-3i}{5} [/mm]

Realteil ist [mm] Re(z_2)=0 [/mm]
Imaginärteil ist [mm] Im(z_2)=-\bruch{3}{5} [/mm]


[mm] z_3=\bruch{1-i}{\wurzel{2}}=\bruch{1}{\wurzel{2}}-\bruch{i}{\wurzel{2}} [/mm]

Realteil ist [mm] Re(z_3)=\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm]
Imaginärteil ist [mm] Im(z_3)=-\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm]


[mm] z_4=|(\bruch{1-i}{\wurzel{2}})^{42}| [/mm]

Welchen Trick muss ich bei [mm] z_4 [/mm] anwenden? ich glaube kaum das ich den term [mm] (\bruch{1-i}{\wurzel{2}})^{42} [/mm] ausmultiplizieren soll


Bezug
                
Bezug
Polarkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:54 Mi 23.03.2016
Autor: reverend

Hallo Rebellismus,

ein paar Tipps:

> [mm]z_1=\overline{1-2i}*\bruch{1}{i}=\bruch{1}{i-2i^2}=\bruch{1}{2+i}*\bruch{2-i}{2-i}=\bruch{2-i}{5}=\bruch{2}{5}-\bruch{1i}{5}[/mm]

Nein. Beachte die Konjugierte: [mm] \overline{1-2i}=1+2i [/mm]
Dann gehts halt auch anders weiter.

> Realteil ist [mm]Re(z_1)=\bruch{2}{5}[/mm]
>  Imaginärteil ist [mm]Im(z_1)=-\bruch{1}{5}[/mm]
>  
>
> [mm]z_2=\bruch{2-i}{1+2i}=\bruch{2-i}{1+2i}*\bruch{1-2i}{1-2i}=\bruch{2-2i-i+2i^2}{5}=\bruch{-3i}{5}[/mm]

Stimmt auch nicht. Rechne noch mal nach. Du hast falsch ausmultipliziert.

> Realteil ist [mm]Re(z_2)=0[/mm]
>  Imaginärteil ist [mm]Im(z_2)=-\bruch{3}{5}[/mm]
>  
>
> [mm]z_3=\bruch{1-i}{\wurzel{2}}=\bruch{1}{\wurzel{2}}-\bruch{i}{\wurzel{2}[/mm]

Stimmt soweit. Es ist aber Usus, im Nenner keine Wurzel allein stehen zu haben. Es gilt [mm] \br{1}{\wurzel{2}}=\br{1}{\wurzel{2}}*\br{\wurzel{2}}{\wurzel{2}}=\br{1}{2}\wurzel{2} [/mm]

> Realteil ist [mm]Re(z_3)=\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>  Imaginärteil ist [mm]Im(z_3)=-\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>  
>
> [mm]z_4=|(\bruch{1-i}{\wurzel{2}})^{42}|[/mm]
>  
> Welchen Trick muss ich bei [mm]z_4[/mm] anwenden? ich glaube kaum
> das ich den term [mm](\bruch{1-i}{\wurzel{2}})^{42}[/mm]
> ausmultiplizieren soll

Doch, das sollst Du. Es ist sogar ziemlich einfach, denn es gilt:
[mm] \left|\left(\bruch{1-i}{\wurzel{2}}\right)^{42}\right|=\left(\br{|1-i|}{|\wurzel{2}|}\right)^{42} [/mm]

...und was ist $|1-i|$ ?

Grüße
reverend


Bezug
                        
Bezug
Polarkoordinaten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:32 Mi 23.03.2016
Autor: Rebellismus

Hallo,

Stimmt die folgende Rechnung jetzt:


[mm] z_1=\overline{1-2i}*\bruch{1}{i}=(1+2i)*\bruch{1}{i}=\bruch{1+2i}{i}*\bruch{-i}{-i}=\bruch{-i-2i^2}{-i^2}=\bruch{2-i}{1}=2-i [/mm]

[mm] Re(z_1)=2 [/mm] und [mm] Im(z_1)=-1 [/mm]

[mm] z_2=\bruch{2-i}{1+2i}=\bruch{2-i}{1+2i}*\bruch{1-2i}{1-2i}=\bruch{2-4i-i+2i^2}{5}=\bruch{-5i}{5}=-i [/mm]

[mm] Re(z_2)=0 [/mm] und [mm] Im(z_2)=-1 [/mm]

[mm] z_3=\bruch{1-i}{\wurzel{2}}=\bruch{1}{\wurzel{2}}-\bruch{i}{\wurzel{2}}=\bruch{\wurzel{2}}{2}-\bruch{\wurzel{2}i}{2} [/mm]

[mm] Re(z_3)=\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] und [mm] Im(z_3)=\bruch{\wurzel{2i}}{2} [/mm]

[mm] z_4=|(\bruch{1-i}{\wurzel{2}})^{42}|=(\bruch{|1-i|}{|\wurzel{2}|})^{42}=(\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2}})^{42}=1 [/mm]

[mm] Re(z_4)=1 [/mm] und [mm] Im(z_4)=0 [/mm]

und So sehen meine skizzen aus:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                
Bezug
Polarkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:06 Do 24.03.2016
Autor: reverend

Hallo nochmal,

bis auf einen Flüchtigkeitsfehler ist jetzt alles richtig.

> [mm]z_1=\overline{1-2i}*\bruch{1}{i}=(1+2i)*\bruch{1}{i}=\bruch{1+2i}{i}*\bruch{-i}{-i}=\bruch{-i-2i^2}{-i^2}=\bruch{2-i}{1}=2-i[/mm]
>  
> [mm]Re(z_1)=2[/mm] und [mm]Im(z_1)=-1[/mm]

  
Jawoll.

> [mm]z_2=\bruch{2-i}{1+2i}=\bruch{2-i}{1+2i}*\bruch{1-2i}{1-2i}=\bruch{2-4i-i+2i^2}{5}=\bruch{-5i}{5}=-i[/mm]
>  
> [mm]Re(z_2)=0[/mm] und [mm]Im(z_2)=-1[/mm]

Stimmt auch.

> [mm]z_3=\bruch{1-i}{\wurzel{2}}=\bruch{1}{\wurzel{2}}-\bruch{i}{\wurzel{2}}=\bruch{\wurzel{2}}{2}-\bruch{\wurzel{2}i}{2}[/mm]
>  
> [mm]Re(z_3)=\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] und
> [mm]Im(z_3)=\bruch{\wurzel{2i}}{2}[/mm]

Beim Imaginärteil fehlt das Minuszeichen. Sieht nach einem Übertragungsfehler aus, denn richtig gerechnet hast Du ja.
  

> [mm]z_4=|(\bruch{1-i}{\wurzel{2}})^{42}|=(\bruch{|1-i|}{|\wurzel{2}|})^{42}=(\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2}})^{42}=1[/mm]
>  
> [mm]Re(z_4)=1[/mm] und [mm]Im(z_4)=0[/mm]

Ja, genau.

> und So sehen meine skizzen aus:
>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]

Bis auf [mm] z_3 [/mm] alles richtig.

Glückwunsch!
Grüße
rev

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