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Picard-Lindelöf, lokal: Maximaler Existenzintervall
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:12 Mi 18.11.2015
Autor: julia_fraktal

Aufgabe
Bestimmen sie das größtmögliche Intervall [mm] [-\alpha,+\alpha] [/mm] , auf dem nach dem lokalen Satz von Picard-Lindelöf die Lösung des Anfangswertproblems
                 u' = [mm] u^2 [/mm] , u(0)= 2
existiert und eindeutig ist.

Unsere Definition des lokalen Picard-Lindelöf:
Sei J [mm] \subseteq \IR [/mm] ein kompaktes Intervall, [mm] (t_0,u_0) \in [/mm] J [mm] \times \IR^n, [/mm]

[mm] Q_{\beta} [/mm] :=  [mm] \{ v \in \IR^n | \parallel v - u_0 \parallel \le \beta \} \subseteq \IR^n [/mm] und
sei f [mm] \in [/mm] C(J [mm] \times Q_{\beta},\IR^n) [/mm] Lipschitz-beschränkt auf J [mm] \times Q_{\beta} [/mm] (bezüglich der 2.ten Variablen) mit Lipschitz-Konstante L [mm] \ge [/mm] 0.
Dann besitzt die Anfangswertaufgabe genau eine lokale Lösung u [mm] \in C^1(I,\IR^n), [/mm] wobei

I := J [mm] \cap [t_0 [/mm] - [mm] \alpha, t_0 [/mm] + [mm] \alpha], \alpha [/mm] := [mm] \beta/M [/mm] , M := max [mm] \parallel [/mm] f(t,v) [mm] \parallel [/mm]

Das Problem, was ich jetzt habe, ist, dass ich bei dieser Aufgabe  ein beliebiges [mm] \beta [/mm] aussuchen kann und dann L = [mm] 2*(\beta+2) [/mm] wählen kann. M wäre [mm] (\beta+2)^2. [/mm] Damit wäre [mm] \alpha [/mm] ja auch klar. Wie soll ich aber [mm] \beta [/mm] wählen, dass I bzw. [mm] \alpha [/mm] maximal wird?



        
Bezug
Picard-Lindelöf, lokal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:43 Do 19.11.2015
Autor: fred97


> Bestimmen sie das größtmögliche Intervall
> [mm][-\alpha,+\alpha][/mm]

???? Steht da nicht vielleicht  [mm](-\alpha,+\alpha)[/mm]  ???



>  , auf dem nach dem lokalen Satz von
> Picard-Lindelöf die Lösung des Anfangswertproblems
> u' = [mm]u^2[/mm] , u(0)= 2
>  existiert und eindeutig ist.
>  Unsere Definition des lokalen Picard-Lindelöf:
>  Sei J [mm]\subseteq \IR[/mm] ein kompaktes Intervall, [mm](t_0,u_0) \in[/mm]
> J [mm]\times \IR^n,[/mm]
>  
> [mm]Q_{\beta}[/mm] :=  [mm]\{ v \in \IR^n | \parallel v - u_0 \parallel \le \beta \} \subseteq \IR^n[/mm]
> und
> sei f [mm]\in[/mm] C(J [mm]\times Q_{\beta},\IR^n)[/mm] Lipschitz-beschränkt
> auf J [mm]\times Q_{\beta}[/mm] (bezüglich der 2.ten Variablen) mit
> Lipschitz-Konstante L [mm]\ge[/mm] 0.
>  Dann besitzt die Anfangswertaufgabe genau eine lokale
> Lösung u [mm]\in C^1(I,\IR^n),[/mm] wobei
>  
> I := J [mm]\cap [t_0[/mm] - [mm]\alpha, t_0[/mm] + [mm]\alpha], \alpha[/mm] := [mm]\beta/M[/mm]
> , M := max [mm]\parallel[/mm] f(t,v) [mm]\parallel[/mm]
>  
> Das Problem, was ich jetzt habe, ist, dass ich bei dieser
> Aufgabe  ein beliebiges [mm]\beta[/mm] aussuchen kann und dann L =
> [mm]2*(\beta+2)[/mm] wählen kann. M wäre [mm](\beta+2)^2.[/mm] Damit wäre
> [mm]\alpha[/mm] ja auch klar. Wie soll ich aber [mm]\beta[/mm] wählen, dass
> I bzw. [mm]\alpha[/mm] maximal wird?
>
>  


Ich denke, dass Du in dieser Aufgabe nicht nachweisen sollst, dass die Voraussetzungen des lokalen Satzes von Picard-Lindelöf erfüllt sind.

Du sollst "nur" die (eindeutig) bestimmte Lösung des Anfangswertproblems bestimmen und das maximale Existenzintervall dieser Lösung.

Mache also folgendes:

1. Bestimme die allgemeine Lösung der DGL

   (*) $u' =  [mm] u^2 [/mm] $

mit Trennung der Veränderlichen.

2. Bestimme dann diejenige Lösung von (*), die der Anfangsbedingung u(0)=2 genügt.

3. Wenn Du 2. erledigt hast, sollte Dir das maximale Existenz Intervall I sofort ins Auge springen. Beachte dabei: 0 [mm] \in [/mm] I.

Zur Kontrolle: $I=(- [mm] \infty,\bruch{1}{2})$ [/mm]

Falls der Aufgabensteller nicht $ [mm] [-\alpha,+\alpha]$ [/mm] sondern wirklich [mm](-\alpha,+\alpha)[/mm] meint, so wäre also

  $ [mm] \alpha= \bruch{1}{2}$ [/mm]


FRED

Bezug
        
Bezug
Picard-Lindelöf, lokal: Was gemeint war.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:58 Mo 07.12.2015
Autor: julia_fraktal

Danke für die Antwort. Es war etwas anderes gemeint.

[mm] \beta [/mm] / [mm] (\beta [/mm] + [mm] 2)^2 [/mm] musste maximiert werden.
Dafür haben wir nach [mm] \beta [/mm] abgeleitet und kurvendiskussion betrieben.

Danke nochmal. :)

Und es war war wirklich [mm] [-\alpha,\alpha] [/mm] gemeint.

Bezug
                
Bezug
Picard-Lindelöf, lokal: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:42 Di 08.12.2015
Autor: fred97


> Danke für die Antwort. Es war etwas anderes gemeint.
>  
> [mm]\beta[/mm] / [mm](\beta[/mm] + [mm]2)^2[/mm] musste maximiert werden.
>  Dafür haben wir nach [mm]\beta[/mm] abgeleitet und
> kurvendiskussion betrieben.
>
> Danke nochmal. :)
>  
> Und es war war wirklich [mm][-\alpha,\alpha][/mm] gemeint.

Das ist doch nicht zu glauben. Das obige AWP hat, wie man sofort mit TDV nachrechnet, die eindeutig bestimmt Lösung

    [mm] u(t)=\bruch{2}{1-2t}. [/mm]

Der Def. -Bereich von u ist [mm] \IR \setminus\{1/2\}. [/mm] Damit ist das maximale Existenzintervall gegeben durch

   $(- [mm] \infty,\bruch{1}{2})$. [/mm]

FRED


Bezug
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