Partielle Diffbarkeit zeigen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Sei f: [mm] IR^n-->IR [/mm] in 0 partiell diffbar mit f(0)=0. Zeige, dass [mm] g:IR^n-->IR, [/mm] g(x)=f(x)|1+f(x)| in partiell diffbar ist mit grad g(0)= grad f(0). |
Hallo,
Ich würde ganz spontan mal mit der Definition beginnen:
Also ich muss ja zeigen, dass der Grenzwert
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{g(x+he_i)-g(x)}{h} [/mm] für x=0 existiert
D.h. [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x+he_i)|1+f(x+he_i)|-f(x)|1+f(x))}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(he_i)|1+f(he_i)|}{h}
[/mm]
wobei hier die 0 eingesetzt wurde und f(0)=0 ausgenutzt wurde.
Jetzt weiß ich ja dass [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(he_i)}{h} [/mm] existiert. Aber jetzt komme ich irgendwie nicht weiter. Muss ich was abschätzen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Mi 30.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei f: [mm]IR^n-->IR[/mm] in 0 partiell diffbar mit f(0)=0. Zeige,
> dass [mm]g:IR^n-->IR,[/mm] g(x)=f(x)|1+f(x)| in partiell diffbar ist
> mit grad g(0)= grad f(0).
> Hallo,
>
> Ich würde ganz spontan mal mit der Definition beginnen:
> Also ich muss ja zeigen, dass der Grenzwert
> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{g(x+he_i)-g(x)}{h}[/mm] für x=0
> existiert
>
> D.h. [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x+he_i)|1+f(x+he_i)|-f(x)|1+f(x))}{h}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(he_i)|1+f(he_i)|}{h}[/mm]
>
> wobei hier die 0 eingesetzt wurde und f(0)=0 ausgenutzt
> wurde.
>
> Jetzt weiß ich ja dass [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(he_i)}{h}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> existiert.
Du weißt doch, dass das $=\frac{\partial f(0)}{\partial x_i}$ ist. Was passiert nun noch mit $|1+f(he_i)|$
bei $h \to 0$ (mit Begründung) und was folgt dann? Du hast bis jetzt
gerechnet (mit $x=0 \in \IR^n$)
$\frac{\partial g(0)}{\partial x_i}=\limes_{h\rightarrow0} \bruch{g(x+he_i)-g(x)}{h}=...=\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(he_i)}{h}*\lim_{h \to 0}|1+f(he_i)|=\frac{\partial f(0)}{\partial x_i}*\lim_{h \to 0}|1+f(he_i)|$
Hinweis: Beachte, dass $x \mapsto |x|$ (als Funktion $\IR \to \IR$) stetig in der
reellen 0 ist, und dass aus der Existenz von
$\lim_{h \to 0} \frac{f(0+he_i)-f(0)}{h}$
notwendig
$\lim_{h \to 0} f(he_i)=...?$ (was gehört da hin)
folgt. Natürlich ist hier $f\,$ nicht notwendig differenzierbar in $0 \in \IR^n\,.$ Aber die
Funktion $u_i \colon \IR \ni x \mapsto f(0+x*e_i)$ (wobei $0 \in \IR^n$ gemeint ist)
ist eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen. Die Existenz von $\partial f(0)/\partial x_i$
bedeutet nichts anderes als die Existenz von $\left.u_i'(x)\right|_{x=0}\,.$
Und dafür muss die Funktion $u_i(x)$ insbesondere stetig in der (reellen)
Stelle $x=0\,$ sein - zudem ist hier $u_i(0)=f(\textbf{0}+0*e_i)=f(\textbf{0})=0$ (ich habe hier, der Deutlichkeit
wegen, mal $\textbf{0}$ für die $\IR^n$-Null geschrieben).
Dein Fazit sollte übrigens sein: Alle partiellen Ableitungen von $g\,$ an der Stelle
$\textbf{0}$ existieren und stimmen dort mit den entsprechenden partiellen
Ableitungen von $f\,$ an der Stelle $\textbf{0}$ überein. Wie machst Du nun
weiter? (Ist ja nicht mehr viel zu tun...)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Also habe ich ja
...= [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(he_i)}{h}\cdot{}\lim_{h \to 0}|1+f(he_i)|=\frac{\partial f(0)}{\partial x_i}\cdot{}\lim_{h \to 0}|1+f(he_i)| [/mm] = [mm] \frac{\partial f(0)}{\partial x_i}, [/mm] da [mm] \lim_{h \to 0} f(he_i)= [/mm] 0 ist. Also ist g in 0 partiell diffbar mit grad g(0)= grad f(0)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 Do 31.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also habe ich ja
>
> ...= [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(he_i)}{h}\cdot{}\lim_{h \to 0}|1+f(he_i)|=\frac{\partial f(0)}{\partial x_i}\cdot{}\lim_{h \to 0}|1+f(he_i)|[/mm]
> = [mm]\frac{\partial f(0)}{\partial x_i},[/mm] da [mm]\lim_{h \to 0} f(he_i)=[/mm] 0 ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also ist g in 0 partiell diffbar mit grad g(0)= grad f(0)
Genau - denn letzteres folgt, weil an der Stelle 0 alle partiellen
Ableitungen in von f und g übereinstimmen (siehe obige Rechnung).
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
