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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass folgendes gilt: Ist Q: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] eine lineare Abbildung, die irgendeine Orthonormalbasis B={ [mm] \overrightarrow{b}_{1}.\overrightarrow{b}_{2} [/mm] } des [mm] \IR^{2} [/mm] auf eine Orthonormalbasis abbildet, dann ist Q orthogonal. |
Wie geht man bei dieser Aufgabe vor?
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Hallo,
> Wie geht man bei dieser Aufgabe vor?
Vielleicht kannst du erstmal sagen, was das zu Zeigende überhaupt bedeutet. Dann kann man sich ja mal Gedanken machen, wie man darauf kommt.
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na Q muss orthogonal sein, d.h das Skalarprodukt muss null sein.
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> na Q muss orthogonal sein, d.h das Skalarprodukt muss null
> sein.
Daraus kann ich immer noch nicht erkennen, was du nun zeigen willst. Welches Skalarprodukt soll hier warum Null sein? Nach Definition heißt eine Abbildung $f: V [mm] \to [/mm] V$ zwischen endlichdimensionalen euklidischen Vektorräumen doch orthogonal, wenn [mm] $\langle [/mm] f(v),f(w) [mm] \rangle=\langle [/mm] v, w [mm] \rangle$ [/mm] für alle $v,w [mm] \in [/mm] V$ gilt.
D.h. nehmen wir also in deinem Fall die gegebene Orthonormalbasis [mm] $B=\{b_1,b_2\}$ [/mm] und sagen wir, dass sie unter $Q$ auf eine Orthonormalbasis [mm] $\{a_1,a_2\}$ [/mm] des [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] abgebildet wird und zwar bilden wir [mm] $b_1$ [/mm] auf [mm] $a_1$ [/mm] ab und analog für den jeweiligen zweiten Basisvektor.
Nimm dir zwei beliebige Elemente [mm] $v,w\in \mathbb{R}^2$ [/mm] und stelle sie als Linearkombination der Basis $B$ dar und berechne mal [mm] $\langle [/mm] v,w [mm] \rangle$ [/mm] und [mm] $\langle [/mm] Q(v), Q(w) [mm] \rangle$. [/mm] Was stellst du fest?
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Mi 18.01.2012 | | Autor: | anke23 |
Hallo,
ich sitze momentan an der gleichen Aufgabe und kann den Tip leider nicht umsetzen..
Wenn meine Basisvektoren
[mm]b_1 = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} [/mm]
und [mm]b_2 = \begin{pmatrix} b_3 \\ b_4 \end{pmatrix}[/mm] lauten
und sie unter [mm]Q[/mm] auf
[mm] a_1 = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} [/mm] und
[mm] a_2 = \begin{pmatrix} a_3 \\ a_4 \end{pmatrix}[/mm] abgebildet werden..
Also
[mm]\left\langle b_1, b_2 \right\rangle = b_1 * b_3 + b_2 * b_4[/mm]
und[mm] \left\langle Q (b_1), Q(b_2) \right\rangle = \left\langle a_1, a_2 \right\rangle = a_1 * a_3 + a_2 * a_4[/mm]
Damit ist doch gezeigt, dass sowohl [mm] b_1, b_2 [/mm] als auch [mm] a_1, a_2[/mm] Elemente von Orthonomalbasen sind.. aber wie beweise ich, dass [mm]Q[/mm] orthogonal ist?
Sorry, ich steh da gerade auf dem Schlauch..
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Mi 18.01.2012 | | Autor: | khelek |
Ich denke dein Beweis hängt damit zusammen, dass orthogonale Abbildungen Längen- und Winkelerhaltend sind. Mit anderen Worten bleibt das Skalarprodukt von den Abgebildeten Vektoren gleich. Das Skalarprodukt der Vektoren in einer ONB muss immer 0 sein. Wird diese ONB nun auf eine ONB abgebildet muss das Skalarprodukt 0 bleiben, da es sich ja wieder um eine ONB handelt. Dies ist bei Orthogonal Abbildungen der Fall da sich das Skalarprodukt nicht ändert.
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