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| Aufgabe | Welche x lösen folgende Gleichung?
[mm] e^{x}-e^{-x}=2 [/mm] |
hallo zusammen,
peinlicherweise gelingt es mir gerade beim besten willen nicht, obige gleichung zu lösen.
die lösung liegt wohl bei [mm] \sim [/mm] 0.8, aber meine umformungen enden irgendwie immer im nirgendwo:
[mm] e^{x}-e^{-x}=2 \gdw e^{x}=2+e^{-x} \gdw x=ln(2+e^{-x}) \gdw x=-x+ln(1+2e^x) \gdw 2x=ln(1+2e^x) [/mm] und nun dreht es sich im kreis, egal wie ich weiterprobiere...
hat jemand einen tipp? oder ist das gar nicht elementar zu lösen...?
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Hallo karlhungus,
> Welche x lösen folgende Gleichung?
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> [mm]e^{x}-e^{-x}=2[/mm]
> hallo zusammen,
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> peinlicherweise gelingt es mir gerade beim besten willen
> nicht, obige gleichung zu lösen.
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> die lösung liegt wohl bei [mm]\sim[/mm] 0.8, aber meine umformungen
> enden irgendwie immer im nirgendwo:
>
> [mm]e^{x}-e^{-x}=2 \gdw e^{x}=2+e^{-x} \gdw x=ln(2+e^{-x}) \gdw x=-x+ln(1+2e^x) \gdw 2x=ln(1+2e^x)[/mm]
> und nun dreht es sich im kreis, egal wie ich
> weiterprobiere...
>
> hat jemand einen tipp? oder ist das gar nicht elementar zu
> lösen...?
Vereinfachung durch Substitution scheint doch brauchbar zu sein.
Setze [mm] $u:=e^x$, [/mm] dann hast du [mm] $u-\frac{1}{u}=2$
[/mm]
Multipliziere mit [mm] $u\neq [/mm] 0$ durch:
[mm] $u^2-2u-1=0$
[/mm]
Dann mit der p/q-Formel ran ...
Beachte, dass wegen [mm] $u=e^x>0$ [/mm] nur eine positive Lösung der quadratischen Gleichung in u infrage kommen kann ...
Wenn du alternativ direkt in der Ausgangsgleichung mit [mm] $e^x\neq [/mm] 0$ durchmultiplizierst, "siehst" du vielleicht auch schon direkt die quadr. Gleichung.
[mm] $\left(e^x\right)^2-2e^x-1=0$
[/mm]
Dann kannst du dir die Substitution sogar noch sparen.
Gruß
schachuzipus
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(Statement) No reaction required  | | Date: | 15:27 So 30/10/2011 | | Author: | karlhungus |
super, danke.
[mm] x=ln(1+\wurzel{2}) [/mm] mittels pq-formel. peinlich, peinlich...
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