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Forum "Statistik (Anwendungen)" - Normierung Dichtefunktion
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Normierung Dichtefunktion: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:47 So 15.02.2015
Autor: Rabenhorst

Aufgabe
Gegeben ist die Verteilungsfunktion

F(x) = a * arctan x + b  (-[mm]\infty [/mm] <x< [mm]\infty [/mm])

einer stetigen Zufallsfallsvariablen X.

a) Bestimmen Sie die beiden Parameter a und b.

b) Wie lautet die Dichtefunktion f(t) dieser Verteilung?

Hallo,

die Lösung laut dem Buch aus dem ich diese Aufgabe habe (Lothar Papula, Mathematik für Ingernieure und Naturwissenschaftler, Band 3, 3. Auflage) lautet:

a) Durch Normierung der Dichtefunktunktion

f(x)= F´(x)= a* [mm]\bruch{1}{1+x^2} [/mm]

erhält man

a= 1/[mm]\pi[/mm]

Aus

F([mm]\infty [/mm]) = 1 folgt dann weiter b = 1/2.


Meine Frage:

Durch welche Rechenschritte kommt man auf

a= 1/[mm]\pi[/mm]

?

Oder anders gefragt, mit was setzt man F'(x) gleich um nach a auflösen zu können? Und warum setzt man es damit gleich.

Viele Grüße

rabenhorst

        
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Normierung Dichtefunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:44 So 15.02.2015
Autor: andyv

Hallo,

Es gilt [mm] $\lim\limits_{x \to -\infty}F(x)=0$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{x \to \infty}F(x)=1$. [/mm] Hieraus folgt [mm] a=1/$\pi$, [/mm] b=1/2.

Alternativ folgt [mm] a=1/$\pi$ [/mm] aus [mm] $\int [/mm] f(x)dx=1$  und mit [mm] $\lim\limits_{x \to \infty}F(x)=1$ [/mm] weiter b=1/2.

Liebe Grüße

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Normierung Dichtefunktion: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:22 Mo 16.02.2015
Autor: Rabenhorst

Hallo,

vielen Dank für die Antwort. Die Lösung hat mich auf eine falsche Fährte geführt. Und zwar deshalb weil hier von F´(x) die Rede ist. Um die Lösung für die Konstanten a und b zu berechnen braucht man F´(x) aber gar nicht, man rechnet hier ja nur mit F(x). Oder?

Viele Grüße

rabenhorst

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Normierung Dichtefunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:43 Mo 16.02.2015
Autor: DieAcht


> vielen Dank für die Antwort. Die Lösung hat mich auf eine
> falsche Fährte geführt. Und zwar deshalb weil hier von
> F´(x) die Rede ist. Um die Lösung für die Konstanten a
> und b zu berechnen braucht man F´(x) aber gar nicht, man
> rechnet hier ja nur mit F(x). Oder?

Es gibt zwei Möglichkeiten und dieser hat dir Andy bereits erklärt.
Wegen der zweiten Teilaufgabe ist die Berechnung von $F'(x)$ sinnvoll.

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Normierung Dichtefunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:10 Mi 18.02.2015
Autor: Rabenhorst


> Es gibt zwei Möglichkeiten und dieser hat dir Andy bereits erklärt.

> Es gilt $ [mm] \lim\limits_{x \to -\infty}F(x)=0 [/mm] $ und $ [mm] \lim\limits_{x \to \infty}F(x)=1 [/mm] $. Hieraus folgt a=1/$ [mm] \pi [/mm] $, b=1/2.
> Alternativ folgt a=1/$ [mm] \pi [/mm] $ aus $ [mm] \int [/mm] f(x)dx=1 $  und mit $ [mm] \lim\limits_{x \to \infty}F(x)=1 [/mm] $ weiter b=1/2.

Was ich noch nicht verstehe ist warum das eine Alternative darstellt. Grund:

F(x) = [mm] \int [/mm] f(x)dx

Oder?

Daher meine ich, dass das doch der selbe Ansatz ist.

Oder übersehe ich das was?

Viele Grüße

rabenhorst



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Normierung Dichtefunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:45 Do 19.02.2015
Autor: fred97


> > Es gibt zwei Möglichkeiten und dieser hat dir Andy bereits
> erklärt.
>  
> > Es gilt [mm]\lim\limits_{x \to -\infty}F(x)=0[/mm] und
> [mm]\lim\limits_{x \to \infty}F(x)=1 [/mm]. Hieraus folgt a=1/[mm] \pi [/mm],
> b=1/2.
>  > Alternativ folgt a=1/[mm] \pi[/mm] aus [mm]\int f(x)dx=1[/mm]  und mit

> [mm]\lim\limits_{x \to \infty}F(x)=1[/mm] weiter b=1/2.
>
> Was ich noch nicht verstehe ist warum das eine Alternative
> darstellt. Grund:
>  
> F(x) = [mm]\int[/mm] f(x)dx
>  
> Oder?

HMMMM..., wenn Du nich ganz so schlampig wärst, wäre es Dir Vielleicht klar geworden:



   $ F(x) = [mm] \int_{-\infty}^x f(t)\,\operatorname [/mm] dt $

FRED

>  
> Daher meine ich, dass das doch der selbe Ansatz ist.
>  
> Oder übersehe ich das was?
>  
> Viele Grüße
>  
> rabenhorst
>  
>  


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Normierung Dichtefunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:13 Do 26.02.2015
Autor: Rabenhorst


> Alternativ folgt a=1/$ [mm] \pi [/mm] $ aus $ [mm] \int [/mm] f(x)dx=1 $

$ [mm] \int_{-\infty}^\infty f(x)\,\operatorname [/mm] dx =1 $

[ a * arctan x + b] =1

An den eckigen Klammern steht unten -unendlich und oben + unendlich (Ich hab den Befehl dafür nicht gefunden).

a*$ [mm] \pi [/mm] $/2 +b + a*$ [mm] \pi [/mm] $/2 - b = 1

a = 1/ $ [mm] \pi [/mm] $

Das ist damit gemeint, oder?







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Normierung Dichtefunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:07 Do 26.02.2015
Autor: DieAcht


> Das ist damit gemeint, oder?

Ja. [ok]

Übrigens: [mm] $[f(x)]_{-\infty}^{\infty}$. [/mm]

(Ist zwar unschön, aber auf die schnelle immer möglich. Ansonsten
gibt es natürlich auch schönere Varianten. Dazu Google benutzen.)


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Normierung Dichtefunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:20 Mo 16.02.2015
Autor: DieAcht

Hallo Rabenhorst!


> Oder anders gefragt, mit was setzt man F'(x) gleich um nach
> a auflösen zu können? Und warum setzt man es damit
> gleich.

[mm] $F\$ [/mm] ist als Verteilungsfunktion gegeben und differenzierbar,
so dass die Ableitung $F'=:f$ eine Dichtefunktion von [mm] $F\$ [/mm] ist.
Jetzt erinnere dich an die Eigenschaft einer Dichtefunktion!


Gruß
DieAcht

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