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Forum "Stochastik" - Normalverteilung GTR
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Normalverteilung GTR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:41 Do 03.07.2014
Autor: steve.joke

Hallo,

ich habe eine Frage zum Einsatz vom Grafiktaschenrechner bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.

Wenn eine Zufallsgröße binomialverteilt ist, dann gilt z.B.

n=1000, p=0,35

[mm] P(X>20)=P(X\ge 21)=1-P(x\le [/mm] 20) => GTR-Befehl: binomcdf(n;p;k)=1 - binomcdf(1000, 0,35, 20)

So will ich das ganze mit der Normalverteilung berechnen, dann gibt es dafür auch einen Rechnerbefehl, den ich in einem Lehrbuch gesehen habe.

[mm] \mu=350 [/mm] und [mm] \sigma=15 [/mm]

So, da wird im Buch nun folgender Befehl benutzt:

P(X>20): => GTR-Befehl: normalmcdf(untere Grenze; obere [mm] Grenze;\mu; \sigma)=normalcdf(20, [/mm] 1000, 350, 15)

Was mich wundert, dass die Sachen wie P(X>20) als [mm] P(X\ge20) [/mm] betrachten, genauso auch [mm] P(X<20)=P(X\le20). [/mm] Das wäre ja bei der Binomialverteilung nicht möglich, da wäre P(X<20)=P(X [mm] \le [/mm] 20).

Wieso ist das bei der Normalverteilung anders? Was ist die Erklärung dafür??

LG



        
Bezug
Normalverteilung GTR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 Do 03.07.2014
Autor: rmix22


> Wieso ist das bei der Normalverteilung anders? Was ist die
> Erklärung dafür??

Weil die Normalverteilung eine stetige und keine diskrete Verteilung ist.


Bezug
                
Bezug
Normalverteilung GTR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:15 Do 03.07.2014
Autor: steve.joke

Und das reicht als Begründung aus, warum man P(X>20) als P(X [mm] \ge [/mm] 20) ansehen kann? Wäre denn hier nicht der Treffen X=20 "viel drin"? Weil wenn X>20 ist, dann darf doch X=20 nicht mit drin sein???

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Normalverteilung GTR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:26 Do 03.07.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wäre denn hier nicht der Treffen X=20 "viel drin"?

nein, für stetige Verteilungen gilt immer $P(X=a) = 0$, d.h. es gilt immer $P(X [mm] \le [/mm] a) = P(X<a) + P(X=a) = P(X<a) + 0 = P(X<a)$

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Normalverteilung GTR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:24 Do 03.07.2014
Autor: steve.joke

Hi,

dann kann ich mir aber folgendes Bsp. aus einem Lehrbuch nicht erklären

Für n=100,p=0,36 ist [mm] \mu=100*0,36=36 [/mm]  und  [mm] \sigma=\sqrt(100*0,36*0,64)=4,8>3 [/mm]

Exakt gilt:

P(X=40)=binompdf(n;p;k)=binompdf(100, 0,36, 40)≈0,05768

Der Näherungswert mit Hilfe der Normalverteilung ist:

[mm] \phi_{(36;4,8)} [/mm] (40)= [mm] \bruch{1}{4,8\sqrt{2\pi}}e^{(-\bruch{1}{2})(\bruch{40 - 36}{4,8})^2}=normalpdf(k; \mu; \sigma)\approx [/mm] 0,05768.

Hier kommt auch nicht Null heraus und damit zeigen die, dass beide Verteilungen ungefähr das gleiche Ergebnis liefern.

Wieso kommt hier keine Null heraus?


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Normalverteilung GTR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:36 Do 03.07.2014
Autor: chrisno

Da wird der Funktionswert an einer Stelle bestimmt und nicht das Integral von 40 bis 40.

Bezug
                                                
Bezug
Normalverteilung GTR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:46 Do 03.07.2014
Autor: steve.joke

Und was das mit der Binomialverteilung zutun?  Wieso zeigen die, dass ein Funktionswert an einer Stelle mit einer Wahrscheinlichkeit fast übereinstimmt? Was soll dieses Bsp. verdeutlichen???

Bezug
                                                        
Bezug
Normalverteilung GTR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:14 Fr 04.07.2014
Autor: rmix22


> Und was das mit der Binomialverteilung zutun?  Wieso zeigen
> die, dass ein Funktionswert an einer Stelle mit einer
> Wahrscheinlichkeit fast übereinstimmt? Was soll dieses
> Bsp. verdeutlichen???

Unter gewissen Voraussetzungen darf man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung mit hinreichender Genauigkeit annähern.
Das stammt noch aus Zeiten, als man die Binomialverteilung nich so einfach per Knopfdruck bekam und die Werte der Normalverteilung war ausreichend in Tabellenform vorhanden.

Bei Vorliegen bestimmter Voraussetzungen kann man ja die hypergeomerische durch die Binomialverteilung nähern oder auch die Binomialverteilung durch die Poissonverteilung. All das wegen der einfacheren Berechenbarkeit. Lies das mal in den Lehrbüchern nach, falls es dich interessiert.

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Normalverteilung GTR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:27 Fr 04.07.2014
Autor: steve.joke

Hallo nochmal.

Leider hat sich meine Frage damit immer noch nicht beantwortet.

Die Binomialverteilung gibt doch eine Wahrscheinlichkeit an und das was da gerechnet wurde, gibt nur den Funktionswert an einer Stelle wieder.....

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Bezug
Normalverteilung GTR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:26 Fr 04.07.2014
Autor: rmix22

Der Wert der Dichtefunktion an einer Stelle gibt NICHT die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines bestimmten Wertes einer stetig verteilten Zufallsgröße an. Nur die kumulierte Dichtefunktion, die Verteilungsfunktion, hat hier eine Bedeutung. Stetige und diskrete Verteilungen sind zwei völlig unterschiedliche Konzepte.

Dass von dir vorhin vorgebrachte Beispiel ist auch insofern, sagen wir einmal, unüblich, da normalerweise bei einer derartigen Näherung die jeweiligen Verteilungsfunktionen einander nähern, nicht die Dichtefunktionen. Dabei wird üblicherweise auch eine sog. Stetigkeitskorrektur vorgenommen (dh. man verwendet X+0.5 anstelle von X).

Bezug
                                                                                
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Normalverteilung GTR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:49 Fr 04.07.2014
Autor: steve.joke

Hallo nochmal,

das heißt, das Bsp.

Für n=100,p=0,36 ist $ [mm] \mu=100\cdot{}0,36=36 [/mm] $  und  $ [mm] \sigma=\sqrt(100\cdot{}0,36\cdot{}0,64)=4,8>3 [/mm] $

Exakt gilt:

P(X=40)=binompdf(n;p;k)=binompdf(100, 0,36, 40)≈0,05768

Der Näherungswert mit Hilfe der Normalverteilung ist:

$ [mm] \phi_{(36;4,8)} [/mm] $ (40)= $ [mm] \bruch{1}{4,8\sqrt{2\pi}}e^{(-\bruch{1}{2})(\bruch{40 - 36}{4,8})^2}=normalpdf(k; \mu; \sigma)\approx [/mm] $ 0,05768.


ist eigentlich nicht so geeignet, richtig? Führt bei Schülern eher zu Verwirrung?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Normalverteilung GTR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:16 Fr 04.07.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo nochmal,

>

> das heißt, das Bsp.

>

> Für n=100,p=0,36 ist [mm]\mu=100\cdot{}0,36=36[/mm] und
> [mm]\sigma=\sqrt(100\cdot{}0,36\cdot{}0,64)=4,8>3[/mm]

>

> Exakt gilt:

>

> P(X=40)=binompdf(n;p;k)=binompdf(100, 0,36, 40)≈0,05768

>

> Der Näherungswert mit Hilfe der Normalverteilung ist:

>

> [mm]\phi_{(36;4,8)}[/mm] (40)=
> [mm]\bruch{1}{4,8\sqrt{2\pi}}e^{(-\bruch{1}{2})(\bruch{40 - 36}{4,8})^2}=normalpdf(k; \mu; \sigma)\approx[/mm]
> 0,05768.

>
>

> ist eigentlich nicht so geeignet, richtig? Führt bei
> Schülern eher zu Verwirrung?

Was um alles in der Welt rechenest du denn da? Dein obiger Wert zwar, ist aber belanglos. Denn: die Approximation per Normalverteilung ist für Wahrscheinlichkeiten der Form P(X=c) so nicht möglich, wie du den bisher gegebenen Antworten entnehmen kannst.

Man verwendet diese Näherung für Intervalle, dann muss man aber natürlich mit der Verteilungsfunktion der Normalverteilung rechnen, die müsste bei dir normalcdf heißen.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                                                                
Bezug
Normalverteilung GTR: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:48 Fr 04.07.2014
Autor: steve.joke

Die Rechnung stammte ja nicht von mir, sondern aus einem Lehrbuch. Deswegen kam ja auch meine Frage auf.

Viele Grüße

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Normalverteilung GTR: Stetigkeitskorrektur?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:19 Fr 04.07.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Die Rechnung stammte ja nicht von mir, sondern aus einem
> Lehrbuch. Deswegen kam ja auch meine Frage auf.

>
Schwer zu glauben. Der korrekte Wert der Funktion normalpdf mit den obigen Parametern ist übrigens etwa 0.0587, insofern hatte ich oben etwas falsches geschrieben. Vielleicht soll das ein Beispiel dafür sein, dass die Funktion der stetigen Dichte zwar ein einigermaßen brauchbares Ergebnis liefert, dass dies aber nicht von Belang ist weil für jede stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X=c)=0 gilt, die Dichtefunktion also einfach keine Wahrscheinlichkeiten zurückliefert, Punkt, Aus, Ende (so wie heute Abend um ca. 19:45... ;-) ).

Was man hier machen könnte, ist den Gedanken der Stetigkeitskorrektur aufzugreifen und das ganze so zu rechnen:

[mm] P(X=40)\approx{P(39.5
Und das wäre ja einigermaßen brauchbar.

Die [mm] \sigma>3-Regel [/mm] ist ja sowie so so eine Sache: kein Mensch kann sie begründen, eines Tages war sie da und lässt ja auch die Frage offen, was man eigentlich unter einer guten Näherung zu verstehen hat.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Normalverteilung GTR: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:48 Fr 04.07.2014
Autor: rmix22


>  Der korrekte Wert der Funktion
> normalpdf mit den obigen Parametern ist übrigens etwa
> 0.0587, insofern hatte ich oben etwas falsches geschrieben.

OK, war gerade dabei diesbezgl. nachzufragen - kann ich mir jetzt sparen.

> Vielleicht soll das ein Beispiel dafür sein, dass die
> Funktion der stetigen Dichte zwar ein einigermaßen
> brauchbares Ergebnis liefert, dass dies aber nicht von
> Belang ist weil für jede stetige
> Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X=c)=0 gilt, die
> Dichtefunktion also einfach keine Wahrscheinlichkeiten
> zurückliefert, Punkt, Aus, Ende (so wie heute Abend um ca.
> 19:45... ;-) ).

Nana, nur nicht so pessimistisch! ;-)

Natürlich gibt der Funktionswert der Dichtefunktion bei stetigen Verteilungen keine Wahrscheinlichkeit an, aber das bedeutet ja nicht, dass der Wert nicht trotzdem als Näherungswert für eine andere Wahrscheinlichkeit dienen kann. So ganz unvernünftig erscheint es auch gar nicht, die Dichtefunktion der Binomialverteilung durch jene der entsprechenden Normalverteilung zu nähern, wenn ich die beiden Kurven einmal so grob vergleiche (siehe beigefügtes Bild). Außerdem erkennt man an den angehängten Bildern der Dichte- und Verteilungsfunktionen, dass die Stetigkeitskorrektur (nicht überraschend) nur eine Verbesserung bei der Verteilungsfunktion bewirkt.

Da mir also die vorgestellte Näherung der Dichtefunktionen selbst nicht gar so unvernünftig vorkam, ich aber bisher noch nie darauf gestoßen bin, hab ich in meiner obigen Antwort nur vorsichtig etwas von "unüblich" gesprochen. Näherungen kann man auch schwer in falsch und richtig einteilen.

>  
> Was man hier machen könnte, ist den Gedanken der
> Stetigkeitskorrektur aufzugreifen und das ganze so zu
> rechnen:
>  
> [mm]P(X=40)\approx{P(39.5
>  
> Und das wäre ja einigermaßen brauchbar.

Ja, der relative Fehler dieser deiner Näherung beträgt 1,754%, jener durch die Dichtefunktionen wie im Beispiel angegeben, 1,81%, also auch nicht so übel.

  

> Die [mm]\sigma>3-Regel[/mm] ist ja sowie so so eine Sache: kein
> Mensch kann sie begründen, eines Tages war sie da und
> lässt ja auch die Frage offen, was man eigentlich unter
> einer guten Näherung zu verstehen hat.

Ja, genau. Grundsätzlich gehts natürlich um einen möglichst großen Stichprobenumfang und/oder eine möglichst kleine Merkmalswahrscheinlichkeit (genauer: eine W. nahe bei 0,5), aber wie es zur magischen Grenze [mm] $n>\frac{9}{p*(1-p)}$ [/mm] gekommen ist, vermag ich auch nicht zu sagen. Wie du es sagst, es war einfach einmal da und jeder schreibt es ab. Die Näherung basiert ja auf dem Satz von De Moivre - Laplace (der núr für die Verteilungsfunktionen formuliert ist), aber ob die "magische Grenze" auch schon so weit zurück reicht? Sie wird jedenfalls Laplace-Bedingung genannt.

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