Multiplikative Inverse von R^2 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir definieren auf [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] eine Addition
[mm] $\[ [/mm] + : [mm] \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \text{ durch } [/mm] (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) [mm] \]$
[/mm]
und die Multiplikation
[mm] $\[ \cdot [/mm] &: [mm] \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \text{ durch } [/mm] (a,b) [mm] \cdot [/mm] (c,d) = (ac - bd, ad + bc) [mm] \]$
[/mm]
[mm] $(\mathbb{R}^2, [/mm] +)$ ist eine kommutative Gruppe (muss nicht nachgeprüft werden). [mm] \\
[/mm]
Zeige, dass [mm] $(\mathbb{R}^2, [/mm] +, [mm] \cdot)$ [/mm] ein Körper ist. (Assoziativität und Kommutativität von [mm] $\cdot$ [/mm] muss nicht gezeigt werden.) [mm] \\ [/mm] |
Hallo ihr Lieben,
Ich habe bezüglich dieser Aufgabe Schwierigkeiten das multiplikative Inverse zu finden. Das neutrale Element habe ich gefunden:
[mm] $\[ [/mm] (1,0) [mm] \cdot [/mm] (a,b) = (1a - 0b, 1b + 0a) = (a,b) [mm] \]$
[/mm]
Habt ihr mir einen Tipp? Oder eine Idee? Wäre toll, vielen Dank!
Viele Grüße,
Chris
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Do 06.11.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Chris,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Wir definieren auf [mm]\mathbb{R}^2[/mm] eine Addition
> [mm]\[ + : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \text{ durch } (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) \][/mm]
>
> und die Multiplikation
> [mm]\[ \cdot &: \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \text{ durch } (a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc) \][/mm]
>
> [mm](\mathbb{R}^2, +)[/mm] ist eine kommutative Gruppe (muss nicht
> nachgeprüft werden). [mm]\\[/mm]
> Zeige, dass [mm](\mathbb{R}^2, +, \cdot)[/mm] ein Körper ist.
> (Assoziativität und Kommutativität von [mm]\cdot[/mm] muss nicht
> gezeigt werden.) [mm]\\[/mm]
> Hallo ihr Lieben,
>
> Ich habe bezüglich dieser Aufgabe Schwierigkeiten das
> multiplikative Inverse zu finden. Das neutrale Element habe
> ich gefunden:
>
> [mm]\[ (1,0) \cdot (a,b) = (1a - 0b, 1b + 0a) = (a,b) \][/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Habt ihr mir einen Tipp? Oder eine Idee? Wäre toll, vielen
> Dank!
Nimm dir ein [mm](a, b)\in\mathbb R^2[/mm] und löse
[mm](a,b)*(x,y)=(1,0)[/mm]
nach x und y auf. Drücke also x und y durch a und b aus.
Übrigens beschreiben diese Abbildungen die Addition und Multiplikation für komplexe Zahlen, wobei [mm](a,b)\cong a+bi[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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Danke Fulla, da fühle ich mich doch tatsächlich willkommen :)
"Drücke also $x$ und $y$ durch $a$ und $b$ aus." - Fulla
Ich weiß leider nicht wie ich das machen soll. Ich habe ja im Prinzip zwei Gleichungen:
1) $x [mm] \cdot [/mm] a - y [mm] \cdot [/mm] b = 1$
2) $x [mm] \cdot [/mm] b + y [mm] \cdot [/mm] a = 0$
Stelle ich jetzt 1) nach $x$ um und setzte das Ergebnis für 2) als $x$ ein?
Stelle ich jetzt 1) nach $x$ um und setzte das Ergebnis für 1) als $x$ ein und stelle nach $y$ um und gehe 2) ebenso vor?
Tut mir leid, ich vermute da fehlt mir eine Grundlage. Kannst du für mich bei diesem 'drücke $x$ und $y$ durch $a$ und $b$ aus' etwas mehr ins Detail gehen?
Tausend Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Do 06.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke Fulla, da fühle ich mich doch tatsächlich
> willkommen :)
>
> "Drücke also [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] durch [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] aus." - Fulla
>
> Ich weiß leider nicht wie ich das machen soll. Ich habe ja
> im Prinzip zwei Gleichungen:
> 1) [mm]x \cdot a - y \cdot b = 1[/mm]
> 2) [mm]x \cdot b + y \cdot a = 0[/mm]
>
> Stelle ich jetzt 1) nach [mm]x[/mm] um und setzte das Ergebnis für
> 2) als [mm]x[/mm] ein?
> Stelle ich jetzt 1) nach [mm]x[/mm] um und setzte das Ergebnis für
> 1) als [mm]x[/mm] ein und stelle nach [mm]y[/mm] um und gehe 2) ebenso vor?
>
> Tut mir leid, ich vermute da fehlt mir eine Grundlage.
> Kannst du für mich bei diesem 'drücke [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] durch [mm]a[/mm] und
> [mm]b[/mm] aus' etwas mehr ins Detail gehen?
>
> Tausend Dank!
ich mach's mal anders: Vielleicht hilft es Dir ja, wenn Du Dir klar machst,
dass Du ein reelles Gleichungssystem in den Variablen $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] hast. [mm] $a,b\,$ [/mm] sind
zwar auch "Variablen", aber die sind "fest gewählt", also Parameter.
Dein obiges Vorgehen ist okay: Du kannst 1) nach [mm] $x\,$ [/mm] auflösen, und das in 2)
einsetzen, um dann [mm] $y\,$ [/mm] zu berechnen. Dabei musst Du aber ein wenig aufpassen,
denn wir dürfen nicht durch 0 teilen, es bedarf also Fallunterscheidungen.
Vielleicht machen wir es ein wenig anders: Wir beachten zunächst:
Inverse suchen wir gar nicht in ganz [mm] $\IR^2\,,$ [/mm] sondern in [mm] $\IR^2 \setminus \{(0,0)\}\,.$
[/mm]
Wir unterscheiden nun 3 Falle (die ersten beiden überlasse ich Dir):
I) [mm] $a=0\,$ [/mm] und $b [mm] \not=0$
[/mm]
II) $a [mm] \not=0$ [/mm] und [mm] $b=0\,.$
[/mm]
III) [mm] $a\not=0$ [/mm] und $b [mm] \not=0$:
[/mm]
Dann ist
1) [mm] $\iff$ $xab-yb^2=b$
[/mm]
und
2) [mm] $\iff$ $xab+ya^2=0\,.$
[/mm]
Subtrahiere ich obere von der unteren rechten Gleichung, so folgt
[mm] $y(a^2+b^2)=-b\,.$
[/mm]
Es folgt
[mm] $y=\frac{-b}{a^2+b^2}\,.$
[/mm]
In 2) eingesetzt und nach [mm] $x\,$ [/mm] aufgelöst
[mm] $x=\frac{b*a}{a^2+b^2}*\frac{1}{b}=\frac{a}{a^2+b^2}\,.$
[/mm]
Wie kann man sein Ergebnis nun prüfen? Naja, erstmal kann man vielleicht
konkrete Zahlen $a,b [mm] \not=0$ [/mm] hernehmen, etwa [mm] $a=3\,$ [/mm] und [mm] $b=5\,$ [/mm] und schauen,
ob die Formel damit passt.
Danach kann man auch einfach mal
[mm] $(a,b)*(\tfrac{a}{a^2+b^2},\,\tfrac{-b}{a^2+b^2})$
[/mm]
ausrechnen - das hat nämlich den Vorteil, dass, wenn man kurz nachdenkt,
am Ergebnis auch sieht, dass man den Fall I) und Fall II) hier mit dem Ergebnis
von Fall III) gar nicht mehr behandeln braucht!
Und auch noch ein kleiner Hinweis:
Fulla hat auf [mm] $\IC$ [/mm] hingewiesen. Um in [mm] $\IC$ [/mm] das Inverse von
$a+ib$ ($a,b [mm] \in \IR$ [/mm] nicht beide 0)
zu berechnen, gibt es den Trick (den man, wenn man ihn einmal gelernt hat,
nie wieder vergessen sollte), mit dem konjugiert komplexen zu erweitern:
[mm] $\frac{1}{a+ib}=\frac{\red{\,a-ib}}{(a+ib)*\red{\,(a-ib)}}=\frac{a}{a^2+b^2}+i*\left(\frac{-b}{a^2+b^2}\right)$
[/mm]
Siehst Du den Zusammenhang? (Wenngleich der Sinn der Aufgabe sein wird,
zu erkennen, dass der [mm] $\IR^2$ [/mm] mit der genannten Addition bzw. Multiplikation
mit [mm] $(\IC,+,*)$ [/mm] identifiziert werden kann!)
P.S. Siehe auch
![[]](/images/popup.gif) Kapitel 4
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Chrizzldi |
Lieber Marcel,
ich habe noch etwas daran genagt. Liegt aber viel mehr an der ausgeprägten Unfähigkeit eine Gleichung umzuformen, als an deiner Erklärung. Und tatsächlich. Es hat funktioniert!
Vielen vielen Dank für deine Hilfe!
Und vielen Dank an matheforum.net - toller Treffpunkt!
Beste Grüße und ganz bestimmt bis demnächst,
Chris
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:18 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Lieber Marcel,
>
> ich habe noch etwas daran genagt. Liegt aber viel mehr an
> der ausgeprägten Unfähigkeit eine Gleichung umzuformen,
> als an deiner Erklärung. Und tatsächlich. Es hat funktioniert!
Dazu vielleicht ein Tipp: Wenn man mit "Rechnungen mit Parametern" noch
Probleme hat, kann es (manchmal) helfen, die Parameter erstmal "konkret"
sein zu lassen. Z.B. kannst Du (ruhig auch farbig) mal alles mit
[mm] $a=\red{3}$ [/mm] und [mm] $b=\green{7}$
[/mm]
rechnen. Natürlich sollte dann etwa sowas wie [mm] $\red{3\,}*3$ [/mm] eben NICHT als [mm] $9\,$
[/mm]
geschrieben werden - Du willst ja in [mm] $\red{3\,}*3$ [/mm] eben
eigentlich [mm] $a*3\,$ [/mm] sehen.  (Du musst das auch nicht in Farben machen, aber
irgendeine Sonderkennzeichung wäre gut: [mm] $a=\underline{3}$ [/mm] und [mm] $b=\underline{\underline{7}}$ [/mm] ginge auch...)
> Vielen vielen Dank für deine Hilfe!
> Und vielen Dank an matheforum.net - toller Treffpunkt!
>
> Beste Grüße und ganz bestimmt bis demnächst,
> Chris
Bestimmt. Und gern geschehen.
Gruß,
Marcel
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