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Forum "Logik" - Multiplikation nicht def.bar
Multiplikation nicht def.bar < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Multiplikation nicht def.bar: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 00:51 Sa 30.04.2016
Autor: impliziteFunktion

Hallo,

kennt jemand von euch zufällig eine Quelle, wo man den Beweis, dass die Multiplikation nicht über [mm] $(\mathbb{N}, [/mm] +, 0, 1)$ definierbar ist, nachlesen kann?

Vielen Dank.

        
Bezug
Multiplikation nicht def.bar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:38 Sa 30.04.2016
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
>  
> kennt jemand von euch zufällig eine Quelle, wo man den
> Beweis, dass die Multiplikation nicht über [mm](\mathbb{N}, +, 0, 1)[/mm]
> definierbar ist, nachlesen kann?

Hallo,

ich frage mich gerade, ob ich irgendwie dumm bin:

man kann doch in den natürlichen Zählen multiplizieren?

LG Angela

>  
> Vielen Dank.


Bezug
                
Bezug
Multiplikation nicht def.bar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:06 Sa 30.04.2016
Autor: impliziteFunktion


> Hallo,

> ich frage mich gerade, ob ich irgendwie dumm bin:

> man kann doch in den natürlichen Zählen multiplizieren?

Hallo,

mit "nicht definierbar" ist gemeint, dass man mithilfe der zur Verfügung stehenden Zeichen [mm] $(\mathbb{N}, [/mm] +)$ man keine Formel hinschreiben kann, die das aussagt, was die Multiplikation tut. (Salopp formuliert).

Beispiel:

Etwa ist [mm] $\{0\}$ [/mm] definierbar über [mm] $(\mathbb{N}, [/mm] <)$. Denn ich kann die Formel

[mm] $\varphi\equiv\forall v_0(v_0\neq v_1\to v_1
angeben.

So etwas ist für die Multiplikation nicht möglich, wenn man nur [mm] $(\mathbb{N}, [/mm] +)$ zur Verfügung hat.
Was ich verblüffend finde, da man die Multiplikation ja durch Addition ausdrücken kann.

[mm] $2\cdot [/mm] 3=2+2+2$

Ich interessiere mich für den Beweis.

Bezug
                        
Bezug
Multiplikation nicht def.bar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:00 Sa 30.04.2016
Autor: HJKweseleit


> > Hallo,
>
> > ich frage mich gerade, ob ich irgendwie dumm bin:
>
> > man kann doch in den natürlichen Zählen multiplizieren?
>
> Hallo,
>  
> mit "nicht definierbar" ist gemeint, dass man mithilfe der
> zur Verfügung stehenden Zeichen [mm](\mathbb{N}, +)[/mm] man keine
> Formel hinschreiben kann, die das aussagt, was die
> Multiplikation tut. (Salopp formuliert).

Wahrscheinlich liegt das daran, dass + eckig und [mm] \cdot{} [/mm] rund ist und dass man mit dem Buchstaben [mm] \IN [/mm] keine ganzen Wörter oder Sätze bilden kann.

Aber ernsthaft:

Zunächst mal gehört 0 gar nicht zu [mm] \IN, [/mm] denn [mm] \IN [/mm] umfasst die natürlichen Zahlen, mit denen man man Kühe abzählt, und man zählt bei 3 Kühen 1,2,3 und nicht 0,1,2.

Deshalb weiß ich nicht, was du unten mit der 0 willst, warum sie in Mengenklammern steht und was die logischen Zeichen bewirken sollen. Willst du damit die Zahl 0 definieren? Und meinst du damit evtl. Folgendes:

[mm] \exists v_1 \forall v_0 \in \IN: v_1


>  
> Beispiel:
>  
> Etwa ist [mm]\{0\}[/mm] definierbar über [mm](\mathbb{N}, <)[/mm]. Denn ich
> kann die Formel
>
> [mm]\varphi\equiv\forall v_0(v_0\neq v_1\to v_1
>  
> angeben.
>  
> So etwas ist für die Multiplikation nicht möglich, wenn
> man nur [mm](\mathbb{N}, +)[/mm] zur Verfügung hat.
> Was ich verblüffend finde, da man die Multiplikation ja
> durch Addition ausdrücken kann.

Die Frage ist, was du unter ausdrücken verstehst. Für die natürlichen Zahlen gilt das Prinzip der vollständigen Induktion (Peano-Axiome, [mm] \IN [/mm] lässt sich geradezu durch vollständige Induktion konstruieren), und genau damit definiert man rekursiv(!) die Multiplikation:

1*n=n                             =Induktionsanfang
Rekursion: (a+1)*n=a*n+n          =Induktionsschritt
(a*b=b*a                          =Zusatzregel)

Beispiel:
1*5=5                             =Induktionsanfang
2*5=(1+1)*5=1*5+5=5*5=10          =Induktionsschritt
3*5=(2+1)*5=2*5+5=10+5=15         =Induktionsschritt
4*5=(3+1)*5=3*5+5=15+5=20         =Induktionsschritt
usw.

Dabei wird die Multiplikation nur auf die Addition zurückgeführt, wobei man natürlich Klammern benutzt und das "neue" Zeichen * , ohne dass aber dessen Bedeutungsinhalt in der praktischen Anwendung herangezogen wird.


>  
> [mm]2\cdot 3=2+2+2[/mm]
>  
> Ich interessiere mich für den Beweis.


Bezug
        
Bezug
Multiplikation nicht def.bar: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:21 So 08.05.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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