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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Monotonie einer Lösung
Monotonie einer Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Monotonie einer Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Mi 25.11.2015
Autor: mathenoob3000

Aufgabe
Sei $f: [mm] \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] stetig diffbar. Zeige dass für jede Lösung $x: I [mm] \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] der DGL $x' = f(x)$ genau eine der folg. Aussagen gilt:
1) $x$ ist streng monoton steigend
2) $x$ ist konstant
3) $x$ ist streng monoton fallend


Hallo,

Sei [mm] x(t_0) [/mm] = [mm] x_0 [/mm] ein Anfwangswert der DGL

Angenommen $x$ ist nicht streng monton, dann existiert ein [mm] $\tau \in [/mm] I$ sodass [mm] $x'(\tau) [/mm] = 0$, also [mm] $x'(\tau) [/mm] = [mm] f(x(\tau)) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x: t [mm] \mapsto x_0$ [/mm] ist Lösung der DGL.
Da aber $f$ stetig diffbar, also lokal L-stetig, muss die Lösung eindeutig sein. Also hat man einen Widerspruch.

Geht das so?


lgg


        
Bezug
Monotonie einer Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:16 Mi 25.11.2015
Autor: mathenoob3000

Sorry hier stimmt was nicht ich werde meinen ersten Post nochmal überarbeiten müssen

Bezug
        
Bezug
Monotonie einer Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:26 Fr 27.11.2015
Autor: Jule2

Also als kleiner Tipp nimm doch einmal an es wäre nicht so es gibt also es gäbe eine nicht monotone Lösung auf einem Intervall so das gilt für a,b aus diesem Intervall ist x'(a)>0 und x'(b)<0.
X hat auf dem kompakten Intervall [a,b] als stetige Funktion ein Maximum....

so und jetzt du weiter  mit Zwischenwertsatz gilt dann was??

Bezug
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