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Möbiustransformation: Hilfe/ Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 Do 26.02.2015
Autor: smoot

Aufgabe
Verständnis Problem aus Mitschrift.
f(Z) = [mm] \bruch{1-zj}{z-j} [/mm] (z [mm] \in \IC)\backslash{j} [/mm]

M  = {(z [mm] \in \IC) \backslash{j} [/mm] |Im [mm] [\bruch{1}{j-z}] +\bruch{1}{2} [/mm] < 0 }

für z [mm] \in [/mm] M :

Im [ [mm] \bruch{1}{j-z} [/mm] ] [mm] +\bruch{1}{2} [/mm] < 0

Im(-j-f(z))+1 < 0

Im(f(z)) > 0







Hallo,

ich verstehe nicht, was in diesem Rechenschritt bestimmt wird bzw. wie man auf das Resultat: Im (f(z))>0 kommt.
Ich vermute dass dieser Rechenschritt dazu da ist, um die "Position/ Lage" der gesuchten Menge M zu bestimmen nach der Transformation.

Die Transformation an sich habe ich verstanden nur mit diesem Schritt/ dieser Rechnung kann ich noch nicht wirklich etwas anfangen.

Würde es nicht auch ausreichen einen Testpunkt einzusetzen (in f(z))und dadurch die Lage der Menge M zu bestimmen?


Ich bräuchte dringend eine Erklärung zu:
A.) Wie wurde das Ergebnis berechnet  und
B.) Wie sieht das Allgemeine vorgehen für diesen Schritt  
    aus?

(gemeint ist der Rechenschritt ab "für z [mm] \in [/mm] M ")

Vielen Dank schon mal.

*Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt*


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Möbiustransformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:03 Fr 27.02.2015
Autor: fred97


> Verständnis Problem aus Mitschrift.
>  f(Z) = [mm]\bruch{1-zj}{z-j}[/mm] (z [mm]\in \IC)\backslash{j}[/mm]

Hier soll es wohl lauten:

[mm] $f(z)=\bruch{1-zj}{z-j}$ [/mm]   ($ z [mm] \in \IC \setminus \{j\}$ [/mm]


>  
> $M  = [mm] \{z\in \IC \setminus \{j\} : Im [\bruch{1}{j-z}] +\bruch{1}{2} <0\}$ [/mm]

>  
> für z [mm]\in[/mm] M :
>
> Im [ [mm]\bruch{1}{j-z}[/mm] ] [mm]+\bruch{1}{2}[/mm] < 0
>
> Im(-j-f(z))+1 < 0
>  
> Im(f(z)) > 0
>  
>
>
>
>
>
> Hallo,
>  
> ich verstehe nicht, was in diesem Rechenschritt bestimmt
> wird bzw. wie man auf das Resultat: Im (f(z))>0 kommt.
> Ich vermute dass dieser Rechenschritt dazu da ist, um die
> "Position/ Lage" der gesuchten Menge M zu bestimmen nach
> der Transformation.


Es soll gezeigt werden, dass für $z [mm] \in [/mm] M$ gilt: $Im(f(z))>0$.


>
> Die Transformation an sich habe ich verstanden nur mit
> diesem Schritt/ dieser Rechnung kann ich noch nicht
> wirklich etwas anfangen.
>
> Würde es nicht auch ausreichen einen Testpunkt einzusetzen
> (in f(z))und dadurch die Lage der Menge M zu bestimmen?
>  
>
> Ich bräuchte dringend eine Erklärung zu:
>  A.) Wie wurde das Ergebnis berechnet  und
>  B.) Wie sieht das Allgemeine vorgehen für diesen Schritt  
>  
> aus?
>  
> (gemeint ist der Rechenschritt ab "für z [mm]\in[/mm] M ")
>  
> Vielen Dank schon mal.
>  
> *Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt*
>  


Berechne zunächst $j-f(z)$. Überzeuge Dich von

(1)  [mm] $j-f(z)=\bruch{2}{j-z}$. [/mm]

Im Folgenden sei stets $z [mm] \in [/mm] M$, also  $Im [mm] [\bruch{1}{j-z}] +\bruch{1}{2} [/mm] <0$. Es folgt, wenn man die Ungleichung mit 2 durchmultipliziert:

     $Im [mm] [\bruch{2}{j-z}] [/mm] +1 <0$.

Mit (1) ergibt sich dann

  (2)   $Im(-j-f(z))+1 < 0 $

So nun zeige Du, dass dann aus (2) folgt:

    $ Im(f(z)) > 0 $.

FRED

Bezug
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