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Menge von Rechtecken: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:42 Mi 25.11.2015
Autor: Gratwanderer

Hallo liebe Forenmitglieder,

ich würde gerne die Menge aller achsenparalleler Rechtecke formal korrekt definieren.  Ich habe mir folgendes überlegt: ein Rechteck ist eine Menge der Form [mm] \{(x,y) \in \IR^2 | a \le x \le b, c \le y \le d \} [/mm] für relle Zahlen $a,b,c,d$. Jetzt möchte ich gerne die Vereinigung dieser Mengen für alle $a,b,c,d [mm] \in \IR$ [/mm] bilden. [mm] \bigcup_{a,b,c,d \in \IR} \{...\} [/mm] wäre aber meines Wissens nach nicht möglich, da es sich um eine überabzählbare Menge handelt. Vielleicht habe ich auch einfach gerade nur ein Brett vor dem Kopf und die Lösung liegt auf der Hand. Würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Viele Grüße
Gratwanderer

        
Bezug
Menge von Rechtecken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:16 Mi 25.11.2015
Autor: fred97


> Hallo liebe Forenmitglieder,
>  
> ich würde gerne die Menge aller achsenparalleler Rechtecke
> formal korrekt definieren.  Ich habe mir folgendes
> überlegt: ein Rechteck ist eine Menge der Form [mm]\{(x,y) \in \IR^2 | a \le x \le b, c \le y \le d \}[/mm]
> für relle Zahlen [mm]a,b,c,d[/mm].

Wenn ein solches Rechteck "echt" sein soll, so solltest Du noch

   a<b und c<d

fordern.

Denn:  im Falle a>b oder c>d ist obige Menge leer.

Im Falle a=b und c<d ist obige Menge ein Geradenstück (ebenso im Fall a<b und c=d)

Im Fall a=b und c=d besteht obige Menge nur aus einem Punkt.







> Jetzt möchte ich gerne die
> Vereinigung dieser Mengen für alle [mm]a,b,c,d \in \IR[/mm] bilden.
> [mm]\bigcup_{a,b,c,d \in \IR} \{...\}[/mm] wäre aber meines Wissens
> nach nicht möglich, da es sich um eine überabzählbare
> Menge handelt. Vielleicht habe ich auch einfach gerade nur
> ein Brett vor dem Kopf und die Lösung liegt auf der Hand.



Ja, das tut sie: die Vereinigung aller achsenpar. Rechtecke = [mm] \IR^2. [/mm]

FRED

> Würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
>
> Viele Grüße
>  Gratwanderer


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Bezug
Menge von Rechtecken: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:18 Mi 25.11.2015
Autor: Gratwanderer

Hallo,

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich denke, ich habe mich etwas unpräzise ausgedrückt (s.u.).

> > Jetzt möchte ich gerne die
> > Vereinigung dieser Mengen für alle [mm]a,b,c,d \in \IR[/mm] bilden.
> > [mm]\bigcup_{a,b,c,d \in \IR} \{...\}[/mm] wäre aber meines Wissens
> > nach nicht möglich, da es sich um eine überabzählbare
> > Menge handelt. Vielleicht habe ich auch einfach gerade nur
> > ein Brett vor dem Kopf und die Lösung liegt auf der Hand.
>
>
>
> Ja, das tut sie: die Vereinigung aller achsenpar. Rechtecke
> = [mm]\IR^2.[/mm]
>  

Ich möchte eine Menge konstruieren, in der jedes Element selbst ein zweidimensionales Rechteck (sprich: eine Teilmenge des [mm] \IR^2) [/mm] ist. Dies ist für den [mm] \IR^2 [/mm] nicht der Fall.

Viele Grüße
Gratwanderer


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Bezug
Menge von Rechtecken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:30 Mi 25.11.2015
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich denke, ich habe
> mich etwas unpräzise ausgedrückt (s.u.).
>
> > > Jetzt möchte ich gerne die
> > > Vereinigung dieser Mengen für alle [mm]a,b,c,d \in \IR[/mm] bilden.
> > > [mm]\bigcup_{a,b,c,d \in \IR} \{...\}[/mm] wäre aber meines Wissens
> > > nach nicht möglich, da es sich um eine überabzählbare
> > > Menge handelt. Vielleicht habe ich auch einfach gerade nur
> > > ein Brett vor dem Kopf und die Lösung liegt auf der Hand.
> >
> >
> >
> > Ja, das tut sie: die Vereinigung aller achsenpar. Rechtecke
> > = [mm]\IR^2.[/mm]
>  >  
>
> Ich möchte eine Menge konstruieren, in der jedes Element
> selbst ein zweidimensionales Rechteck (sprich: eine
> Teilmenge des [mm]\IR^2)[/mm] ist. Dies ist für den [mm]\IR^2[/mm] nicht der
> Fall.

Du willst also eine Teilmenge der Potenzmenge P des [mm] \IR^2 [/mm] basteln, die achsenpar. Rechtecke enthält.

Welche Eigenschaften soll denn P haben ?

FRED

>
> Viele Grüße
>  Gratwanderer
>  


Bezug
                                
Bezug
Menge von Rechtecken: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:44 Mi 25.11.2015
Autor: Gratwanderer


> > Ich möchte eine Menge konstruieren, in der jedes Element
> > selbst ein zweidimensionales Rechteck (sprich: eine
> > Teilmenge des [mm]\IR^2)[/mm] ist. Dies ist für den [mm]\IR^2[/mm] nicht der
> > Fall.
>
> Du willst also eine Teilmenge der Potenzmenge P des [mm]\IR^2[/mm]
> basteln, die achsenpar. Rechtecke enthält.
>  
> Welche Eigenschaften soll denn P haben ?
>  

$P$ soll nur diejenigen Teilmengen des [mm] \IR^2 [/mm] enthalten, für die die Eigenschaften eines achsenparallelen Rechtecks zutreffen. Für ein $r [mm] \in [/mm] P$ gibt es also reelle Zahlen $a,b,c,d$ mit $a<b$ und $c<d$, sodass $r = [mm] \{ (x,y) \in \IR^2 | a \le x \le b, c \le y \le d \}$. [/mm]

Gratwanderer

Bezug
                                        
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Menge von Rechtecken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:24 Mi 25.11.2015
Autor: fred97


> > > Ich möchte eine Menge konstruieren, in der jedes Element
> > > selbst ein zweidimensionales Rechteck (sprich: eine
> > > Teilmenge des [mm]\IR^2)[/mm] ist. Dies ist für den [mm]\IR^2[/mm] nicht der
> > > Fall.
> >
> > Du willst also eine Teilmenge der Potenzmenge P des [mm]\IR^2[/mm]
> > basteln, die achsenpar. Rechtecke enthält.
>  >  
> > Welche Eigenschaften soll denn P haben ?
>  >  
>
> [mm]P[/mm] soll nur diejenigen Teilmengen des [mm]\IR^2[/mm] enthalten, für
> die die Eigenschaften eines achsenparallelen Rechtecks
> zutreffen. Für ein [mm]r \in P[/mm] gibt es also reelle Zahlen
> [mm]a,b,c,d[/mm] mit [mm]a
>  
> Gratwanderer


Wo ist jetzt das Problem ? Die obige Beschreibung von P genügt doch.

FRED

Bezug
                                                
Bezug
Menge von Rechtecken: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:51 Mi 25.11.2015
Autor: Gratwanderer


> > [mm]P[/mm] soll nur diejenigen Teilmengen des [mm]\IR^2[/mm] enthalten, für
> > die die Eigenschaften eines achsenparallelen Rechtecks
> > zutreffen. Für ein [mm]r \in P[/mm] gibt es also reelle Zahlen
> > [mm]a,b,c,d[/mm] mit [mm]a
>  
> >  

> Wo ist jetzt das Problem ? Die obige Beschreibung von P
> genügt doch.
>  

Kann ich $P$ wie folgt definieren: $P = [mm] \{ R \in \mathcal{P}(\IR^2) | \exists a,b,c,d \in \IR, a
P.S.: Ich denke nicht, weil in dieser Menge dann auch alle Mengen enthalten wären, um die ein Rechteck gelegt werden kann (bounding box).


Bezug
                                                        
Bezug
Menge von Rechtecken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:35 Mi 25.11.2015
Autor: fred97


> > > [mm]P[/mm] soll nur diejenigen Teilmengen des [mm]\IR^2[/mm] enthalten, für
> > > die die Eigenschaften eines achsenparallelen Rechtecks
> > > zutreffen. Für ein [mm]r \in P[/mm] gibt es also reelle Zahlen
> > > [mm]a,b,c,d[/mm] mit [mm]a
>  
> >  

> > >  

> > Wo ist jetzt das Problem ? Die obige Beschreibung von P
> > genügt doch.
>  >  
>
> Kann ich [mm]P[/mm] wie folgt definieren: [mm]P = \{ R \in \mathcal{P}(\IR^2) | \exists a,b,c,d \in \IR, a
>
> P.S.: Ich denke nicht, weil in dieser Menge dann auch alle
> Mengen enthalten wären, um die ein Rechteck gelegt werden
> kann (bounding box).
>  




   [mm] $P=\{[a,b] \times [c,d]: a,b,c,d \in \IR, a
FRED

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