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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Mehrdimensionale Extremstellen
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Mehrdimensionale Extremstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:52 Fr 02.10.2015
Autor: Rebellismus

Aufgabe
EDIT:

Neue frage:

Ich habe eine Frage zu folgenden Seite:

[]Extremstellen




Angenommen ich habe eine 3x3 Matrix und habe die 3 Eigenwerte bestimmt.

ein Eigenwert ist >0

ein anderes ist <0

und das letzte Eigenwert ist =0

was wäre die definitheit dieser Matrix?



        
Bezug
Mehrdimensionale Extremstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 Fr 02.10.2015
Autor: schachuzipus

Hallo,

> EDIT:

>

> Neue frage:

>

> Ich habe eine Frage zu folgenden Seite:

>

> []Extremstellen

>
>
>

> Angenommen ich habe eine 3x3 Matrix und habe die 3
> Eigenwerte bestimmt.

>

> ein Eigenwert ist >0

>

> ein anderes ist <0

>

> und das letzte Eigenwert ist =0

>

> was wäre die definitheit dieser Matrix?

Eine solche Matrix wäre indefinit, da es positive und negative Eigenwerte gibt.


Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Mehrdimensionale Extremstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:59 Fr 02.10.2015
Autor: Rebellismus

Hallo,

soweit ich weiß gilt:

positiv definit: Alle Eigenwerte >0

negativ definit: Alle Eigenwerte <0

indefinit: Eigenwerte: positive und negativ (Darf der Eigenwert hier auch Null sein?)

positiv semidefinit: Alle Eigenwerte [mm] \le [/mm] 0

negativ semidefinit: Alle Eigenwerte [mm] \ge [/mm] 0

so ich dachte, wenn ein Eigenwert =0 ist, dann ist die Matrix semidefinit. Dem ist nicht so?



Bezug
                        
Bezug
Mehrdimensionale Extremstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 Fr 02.10.2015
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Hallo,

>

> soweit ich weiß gilt:

>

> positiv definit: Alle Eigenwerte >0

>

> negativ definit: Alle Eigenwerte <0

[ok]

>

> indefinit: Eigenwerte: positive und negativ (Darf der
> Eigenwert hier auch Null sein?)

>

> positiv semidefinit: Alle Eigenwerte [mm]\le[/mm] 0

>

> negativ semidefinit: Alle Eigenwerte [mm]\ge[/mm] 0

Umgekehrte Realtionszeichen ... Da haste dich vertippt ...

>

> so ich dachte, wenn ein Eigenwert =0 ist, dann ist die
> Matrix semidefinit.

Was ist denn Semidefinitheit?

> Dem ist nicht so?

Nein; eine Matrix ist indefinit, falls es positive und negative Eigenwerte gibt. Dass da ein(ige) Eigenwert(e) 0 ist (sind), ist egal, Hauptsache (mindestens) ein positiver und ein negativer EW ist dabei.


Gruß

schachuzipus

Bezug
        
Bezug
Mehrdimensionale Extremstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:22 So 04.10.2015
Autor: fred97


> EDIT:
>
> Neue frage:
>  
> Ich habe eine Frage zu folgenden Seite:
>  
> []Extremstellen
>  
>
>
> Angenommen ich habe eine 3x3 Matrix und habe die 3
> Eigenwerte bestimmt.
>  
> ein Eigenwert ist >0
>  
> ein anderes ist <0
>  
> und das letzte Eigenwert ist =0
>  
> was wäre die definitheit dieser Matrix?

Das kannst Du doch selbst mit der Def. überprüfen !

Sei $A$ eine symmetrische nxn - Matrix und

   [mm] $Q_A(x):= [/mm] x^TAx$

ihre quadratische Form. [mm] Q_A [/mm] bzw. A heißt indefinit  [mm] \gdw [/mm] es ex. u,v [mm] \in \IR^n [/mm] mit [mm] Q_A(u)<0 [/mm] und [mm] Q_A(v)>0. [/mm]

Wenn jetzt A Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] <0 und [mm] \mu [/mm] >0 hat, so ex.  u,v [mm] \in \IR^n [/mm] mit $u [mm] \ne [/mm] 0 [mm] \ne [/mm]  v$ und [mm] $Au=\lambda [/mm] u$ und $Av= [mm] \mu [/mm] v.$

Rechne nun nach: [mm] $Q_A(u)=\lambda ||u||^2<0$ [/mm]  und  [mm] $Q_A(v)=\mu ||v||^2>0$ [/mm]

FRED


>  
>  


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