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Markovkette: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:26 Do 07.12.2017
Autor: Mandy_90

Aufgabe
Sei [mm] Y_{0},Y_{1},Y_{2} [/mm] eine Bernoulli verteilte Folge und [mm] X_{n}=2Y_{n}+Y_{n+1}. [/mm] Zeigen Sie,dass [mm] X_{n} [/mm] eine Markovkette ost und bestimmen Sie die Übergangswahrscheinlichkeiten.

Hallo,

also mit dieser Aufgabe komme ich nicht klar. Ich weiß zwar wie man die Übergangswahrscheinlichkeiten berechnet (Zustände anschauen und dann von jedem Zustand zum anderen die W. angeben).
Die Zustände wären ja [mm] X_{n}, X_{n+1},.... [/mm] aber woher krieg ich die Wahrscheinlichkeiten ?
Und um zu zeigen, dass es ne Markovkette ist, muss gelten:
[mm] P(S_{n}=X_{n}|S_{1}=X_{1},...,S_{n-1}=X_{n-1})=P(S_{n}=X_{n}|S_{n-1}=X_{n-1}) [/mm]

Aber wie gehe ich hier vor ?
lg
Mandy_90

        
Bezug
Markovkette: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:42 Fr 08.12.2017
Autor: Gonozal_IX

Hey,

vorweg möchte ich mal die Aufgabenstellung kritisieren, wobei ich mich nun frage, ob diese dir wirklich so gestellt wurde oder ob du sie nur "kompakt" (und damit falsch) wiedergegeben hast.

Du schriebst:

> Sei $ [mm] Y_{0},Y_{1},Y_{2} [/mm] $ eine Bernoulli verteilte Folge

1.) Gemeint ist sicherlich $ [mm] Y_{0},Y_{1},Y_{2}, \ldots$ [/mm] denn drei ZV sind keine Folge

2.) Was soll denn eine "Bernoulli verteilte Folge" sein? Eine Folge von ZV kann man natürlich selbst als ZV sehen, die ist aber dann bestimmt nicht Bernoulli-verteilt. Was hier sicherlich gemeint ist: "eine Folge von Bernoulli-verteilten ZV"

3.) Als wesentliches Merkmal fehlt die Unabhängigkeit der [mm] $Y_i$! [/mm] Andernfalls wird die Aufgabe nämlich beliebig komplex.

D.h. ich korrekt würde die Aufgabe wie folgt beginnen:

> Sei $ [mm] Y_{0},Y_{1},Y_{2},\ldots [/mm] $ eine Folge unabhängiger, Bernoulli-verteilter Zufallsvariablen…

Hab ich recht?

Nun zur Aufgabe:

1.) Überlege dir zuerst, welche Werte [mm] $X_n$ [/mm] überhaupt annehmen kann. Kleiner Tipp: Es ist sehr überschaubar.

2.) Dann überlege dir, dass einerseits [mm] $X_n$ [/mm] eindeutig durch [mm] $Y_n$ [/mm] und [mm] $Y_{n+1}$ [/mm] festgelegt ist (trivialerweise), aber auch die Umkehrung gilt!
D.h. wenn du dir einen der Werte aus 1.) für [mm] $X_n$ [/mm] fixierst, ergeben sich daraus sofort die Werte für [mm] $Y_{n+1}$ [/mm] und [mm] $Y_n$! [/mm]

3.) Folgere aus 2.), dass der Wert von [mm] $X_{n+1}$ [/mm] damit von [mm] $X_n$ [/mm] abhängt plus welchen Wert [mm] $Y_{n+2}$ [/mm] annimmt. D.h. die Übergangswahrscheinlichkeit hängt nur von vom Ausgang von [mm] $Y_{n+2}$ [/mm] ab und ist damit immer [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] (da [mm] $Y_{n+2}$ [/mm] nur zwei Werte mit WKeit [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] annimmt)
Welche Zustände und welche Übergänge es allerdings gibt, musst du mit Hilfe von 1.) & 2) selbst versuchen zu lösen :-)

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Markovkette: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:16 Fr 08.12.2017
Autor: Mandy_90


> Hey,
>  
> vorweg möchte ich mal die Aufgabenstellung kritisieren,
> wobei ich mich nun frage, ob diese dir wirklich so gestellt
> wurde oder ob du sie nur "kompakt" (und damit falsch)
> wiedergegeben hast.

Also ich muss sagen, das habe ich jetzt schon öfters erlebt, dass die Aufgaben nicht korrekt gestellt sind und das von einem Uni-Prof, ich bin auch etwas entsetzt. Die Aufgabe steht genauso auf dem Blatt.
Ich werde ich später mit deinen Tips befassen und versuchen die Aufgabe zu lösen. Danke.


Bezug
                
Bezug
Markovkette: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:16 Fr 08.12.2017
Autor: Mandy_90

Hey,

> D.h. ich korrekt würde die Aufgabe wie folgt beginnen:
>  > Sei [mm]Y_{0},Y_{1},Y_{2},\ldots[/mm] eine Folge unabhängiger,

> Bernoulli-verteilter Zufallsvariablen…
>  
> Hab ich recht?
>  
> Nun zur Aufgabe:
>  
> 1.) Überlege dir zuerst, welche Werte [mm]X_n[/mm] überhaupt
> annehmen kann. Kleiner Tipp: Es ist sehr überschaubar.

Da die [mm] Y_{i} [/mm] Bernoulli verteilte ZV sind, können sie nur zwei Werte annehmen. Ich hab jetzt einfach gesagt 0 und 1. Kann man das so allgemein sagen ? Also quasi 1 als Erfolg uns 0 als Misserfolg deuten. Oder könnte es z.B. auch 3 und 4 sein ? Dann muss [mm] X_{n}\in{0,1,2,3} [/mm] sein.

>  
> 2.) Dann überlege dir, dass einerseits [mm]X_n[/mm] eindeutig durch
> [mm]Y_n[/mm] und [mm]Y_{n+1}[/mm] festgelegt ist (trivialerweise), aber auch
> die Umkehrung gilt!
>  D.h. wenn du dir einen der Werte aus 1.) für [mm]X_n[/mm]
> fixierst, ergeben sich daraus sofort die Werte für [mm]Y_{n+1}[/mm]
> und [mm]Y_n[/mm]!

Das ist mir glaube ich klar, denn wenn ich [mm] z.B.X_{n}=0 [/mm] habe , bleibet nur die Möglichkeit [mm] Y_{n}=Y_{n+1}=0. [/mm]

>  
> 3.) Folgere aus 2.), dass der Wert von [mm]X_{n+1}[/mm] damit von
> [mm]X_n[/mm] abhängt plus welchen Wert [mm]Y_{n+2}[/mm] annimmt. D.h. die
> Übergangswahrscheinlichkeit hängt nur von vom Ausgang von
> [mm]Y_{n+2}[/mm] ab und ist damit immer [mm]\frac{1}{2}[/mm] (da [mm]Y_{n+2}[/mm] nur
> zwei Werte mit WKeit [mm]\frac{1}{2}[/mm] annimmt)
>  Welche Zustände und welche Übergänge es allerdings
> gibt, musst du mit Hilfe von 1.) & 2) selbst versuchen zu
> lösen :-)

Die Zustände sind doch dann 0,1,2 und 3 oder ?
Bei den Wahrscheinlichkeiten komme ich grad nicht weiter. Hast du da nochmal nen Tipp ?
lg
Mandy_90

Bezug
                        
Bezug
Markovkette: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:00 Fr 08.12.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Da die [mm]Y_{i}[/mm] Bernoulli verteilte ZV sind, können sie nur
> zwei Werte annehmen. Ich hab jetzt einfach gesagt 0 und 1.

[ok]

> Kann man das so allgemein sagen ? Also quasi 1 als Erfolg
> uns 0 als Misserfolg deuten. Oder könnte es z.B. auch 3
> und 4 sein ?

Ohne weitere Angabe sind Bernoulli-Verteilungen immer {0,1}-wertig.

> Dann muss [mm]X_{n}\in{0,1,2,3}[/mm] sein.

[ok]

> Das ist mir glaube ich klar, denn wenn ich [mm]z.B.X_{n}=0[/mm] habe
> , bleibet nur die Möglichkeit [mm]Y_{n}=Y_{n+1}=0.[/mm]

[ok]
Mach dasselbe nochmal für [mm] $X_n [/mm] = 1,2,3$

> Die Zustände sind doch dann 0,1,2 und 3 oder ?

[ok]

> Bei den Wahrscheinlichkeiten komme ich grad nicht weiter.
> Hast du da nochmal nen Tipp ?

Überlege dir das oben nochmal fertig für die Werte von [mm] $X_n$ [/mm]
Überlege dir dann, welche Werte [mm] X_{n+1} [/mm] annehmen kann, wenn [mm] $X_n [/mm] = 1,2,3,4$ (das sind nämlich nicht immer alle!) und überlege dir dann, unter welchen Bedingungen [mm] $X_{n+1} [/mm] = 1,2,3,4$ ist, wenn [mm] $X_n [/mm] = 1,2,3,4$ ist.

Schreib das mal sauber in einer Tabelle hin… jeweils für [mm] $X_n [/mm] = 1,2,3,4$… das bedeutet für [mm] $Y_{n+1}$, [/mm] dann dass es ……… ist… usw.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Markovkette: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 Fr 08.12.2017
Autor: Mandy_90


> > Die Zustände sind doch dann 0,1,2 und 3 oder ?
> [ok]
>  
> > Bei den Wahrscheinlichkeiten komme ich grad nicht weiter.
> > Hast du da nochmal nen Tipp ?
> Überlege dir das oben nochmal fertig für die Werte von
> [mm]X_n[/mm]
>  Überlege dir dann, welche Werte [mm]X_{n+1}[/mm] annehmen kann,
> wenn [mm]X_n = 1,2,3,4[/mm] (das sind nämlich nicht immer alle!)
> und überlege dir dann, unter welchen Bedingungen [mm]X_{n+1} = 1,2,3,4[/mm]
> ist, wenn [mm]X_n = 1,2,3,4[/mm] ist.

Wieso kann [mm] X_{n}=4 [/mm] sein. Ich dachte es geht nur bis 3 (s.o.)

> Schreib das mal sauber in einer Tabelle hin… jeweils für
> [mm]X_n = 1,2,3,4[/mm]… das bedeutet für [mm]Y_{n+1}[/mm], dann dass es
> ……… ist… usw.

habs jetzt bis [mm] X_{n}=3 [/mm] aufgeschrieben
[mm] X_{n}=0 [/mm] --> [mm] X_{n+1}=Y_{n+2} [/mm]
[mm] X_{n}=1 [/mm] --> [mm] X_{n+1}=2+Y_{n+2} [/mm]
[mm] X_{n}=2 [/mm] --> [mm] X_{n+1}=Y_{n+2} [/mm]
[mm] X_{n}=3 [/mm] --> [mm] X_{n+1}=2+Y_{n+2} [/mm]

Also gibt es nur zwei Möglichkeiten. [mm] Y_{n+1} [/mm] ist immer 0 oder 1.
Aber wie schreibe ich das richtig auf, dass auch gezeigt ist, dass es eine Markov Kette ist ? Und wenn ich z.B. von Zustand 0 zu Zustand 1 will, woher weiß ich welche Wahrscheinlichkeit das ist ? Das leuchtet mir irgendwie nicht ein.

Bezug
                                        
Bezug
Markovkette: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:58 Fr 08.12.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wieso kann [mm]X_{n}=4[/mm] sein. Ich dachte es geht nur bis 3

gut aufgepasst.
Ich meinte natürlich [mm] $X_n [/mm] = 0,1,2,3$

> habs jetzt bis [mm]X_{n}=3[/mm] aufgeschrieben
>  [mm]X_{n}=0[/mm] --> [mm]X_{n+1}=Y_{n+2}[/mm]

>  [mm]X_{n}=1[/mm] --> [mm]X_{n+1}=2+Y_{n+2}[/mm]

>  [mm]X_{n}=2[/mm] --> [mm]X_{n+1}=Y_{n+2}[/mm]

>  [mm]X_{n}=3[/mm] --> [mm]X_{n+1}=2+Y_{n+2}[/mm]

Na damit hast du es doch eigentlich schon geschafft!
Du hast das nur nicht zu Ende gedacht…

Nehmen wir den ersten Zustand [mm] $X_n [/mm] = 0$. Dann kann nur [mm] $X_{n+1}=Y_{n+2}$ [/mm] gelten. [mm] $Y_{n+2}$ [/mm] ist mit WKeit [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] aber eben 0 oder 1.
D.h. [mm] X_{n+1} [/mm] befindet sich ebenfalls mit WKeit [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] entweder in $0$ oder $1$ wenn [mm] X_n [/mm] sich im Zustand 0 befand.

D.h. die Übergangswahrscheinlichkeiten aus 0 sind eben [mm] $p_{0,0} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] = [mm] p_{0,1}$ [/mm] (ich hoffe ihr schreibt das auch so auf!)

> Aber wie schreibe ich das richtig auf, dass auch gezeigt ist, dass es eine Markov Kette ist ?

Das sauber aufzuschreiben ist ebenfalls gar nicht so schwer, dazu überlegen wir uns mal folgendes:

Es gilt: [mm] $\{X_n = x_n\} [/mm] = [mm] \{Y_n = y_n, Y_{n+1} = y_{n+1}\}$ [/mm] für [mm] $x_n\in \{0,1,2,3\}$ [/mm] und geeignete [mm] $y_n,y_{n+1} \in \{0,1\}$ [/mm]

Das spiegelt eigentlich nur das wieder in Formeln, was wir vorhin schon in Worten ausgedrückt haben. Der Wert von [mm] $X_n$ [/mm] legt eindeutig [mm] Y_n [/mm] und [mm] Y_{n+1} [/mm] fest und umgekehrt.

Das gilt aber nicht nur wenn wir einzelne [mm] $X_n$ [/mm] betrachten, sondern sogar mehrere! Bspw. ist sogar [mm] $\{X_n = x_n, X_{n+1} = x_{n+1}\} [/mm] =  [mm] \{Y_n = y_n, Y_{n+1} = y_{n+1}, Y_{n+2} = y_{n+2}\}$ [/mm]  für [mm] $x_n,x_{n+1}\in \{0,1,2,3\}$ [/mm] und geeignete [mm] $y_n,y_{n+1},y_{n+2} \in \{0,1\}$ [/mm]

Demzufolge kannst du folgenden Schritt machen:

[mm] $P\left(X_n = x_n | X_1 = x_1, \ldots, X_{n-1} = x_{n-1}\right) [/mm] = [mm] P\left(X_n = x_n | Y_1 = y_1, \ldots, Y_n = y_n\right)$ [/mm] (und beachte, dass es wirklich kein Fehler ist, dass die [mm] $Y_i$ [/mm] nun bis n laufen)

Wende nun die Definition der bedingten WKeit an, nutze aus, dass [mm] $X_n$ [/mm] unabhängig ist von allen [mm] $Y_i, i\le [/mm] {n-2}$ und die [mm] $Y_i$ [/mm] selbst unabhängig sind, dann kannst du da geeignet umformen, kürzen und erhälst

[mm] $P\left(X_n = x_n | X_1 = x_1, \ldots, X_{n-1} = x_{n-1}\right) [/mm] = [mm] P\left(X_n = x_n | Y_1 = y_1, \ldots, Y_n = y_n\right) [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] P\left(X_n = x_n | Y_{n-1} = y_{n-1}, Y_n = y_n\right) [/mm] =  [mm] P\left(X_n = x_n | X_{n-1} = x_{n-1}\right)$ [/mm]
Die [mm] $\ldots$ [/mm] schaffst du hoffentlich selbst zu beantworten :-)

> Und wenn ich z.B. von Zustand 0 zu Zustand 1 will, woher weiß ich welche  Wahrscheinlichkeit das ist ? Das leuchtet mir irgendwie nicht ein.

Ich hoffe die Frage ist mit der oben beantwortet.

Gruß,
Gono


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Bezug
Markovkette: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:02 Fr 08.12.2017
Autor: Mandy_90

Hey,

Danke das hast du super gut erklärt, habs verstanden :)

Bezug
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