Majoranten-/Minirantenkret. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebe Community,
ich habe mal einpaar Verständnisfragen zu dem Marjoranten-/Minorantenkriterium die ihr mir vielleicht beantworten könnt.
Wir haben das Mijoranten-/Minorantenkriterium in der Vorlesung folgendermaßen definiert.
Gegeben sind die Reihen [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_{n} [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{\infty} b_{n}, [/mm] mit [mm] a_{n}>=b_{n} \forall [/mm] n [mm] \in [/mm] k (k [mm] \in \IN) [/mm] => [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_{n} [/mm] ist eine Minorante von [mm] \summe_{i=1}^{\infty} b_{n} [/mm] und umgekehrt.
a) Es [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_{n} [/mm] konvergiert [mm] =>\summe_{i=1}^{\infty} b_{n} [/mm] konvergiert
b) Es sei [mm] \summe_{i=1}^{\infty} b_{n} [/mm] divergent => [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_{n} [/mm] ist divergent.
Gilt das auch umgekehrt, also wenn die Majorante divergiert, dann divergiert auch die Minorante und wenn die Minorante konvergent ist konvergiert auch die Majorante?
Bspw. [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n*(n+1)} [/mm] <= [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n} [/mm]
Das würde ja bedeuten, dass die Majorante divergiert und demzufolge auch die Minorante divergiert.
Oder sehe ich das falsch?
LG DerPinguinagent
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Do 15.06.2017 | | Autor: | chrisno |
Das kann offensichtlich nicht gelten. Nimm als Majorante $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] n $ und als Minorante $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \br{1}{n^2} [/mm] $
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Sorry das hilft mir jetzt aber nicht weiter. Was hat das mit meinem Beispiel zu tun?
LG DerPinguinagent
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Do 15.06.2017 | | Autor: | chrisno |
Meinen Fehler, die zuviel kopierte Formel habe ich beseitigt.
Schau Dir die Reihen an. Welche in konvergent, welche divergent?
Ein Gegenbeispiel widerlegt eine wenn-dann Aussage.
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Dann hätte ich ja als Majoranten eine Divergente Reihe ubd daraus folgt ja das [mm] 1/n^2 [/mm] auch divergent ist. Jetzt bin ich ganz verwirrt
LG DerPinguinagent
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Do 15.06.2017 | | Autor: | chrisno |
Wieso bist Du verwirrt? Du hast gefragt:
> Gilt das auch umgekehrt, also wenn die Majorante divergiert, dann divergiert auch die Minorante und wenn die Minorante konvergent ist konvergiert auch die Majorante?
Ich gebe Dir ein Gegenbeispiel. Damit ist gezeigt, dass diese Aussage nicht gilt.Gilt das auch umgekehrt, also wenn die Majorante divergiert, dann divergiert auch die Minorante und wenn die Minorante konvergent ist konvergiert auch die Majorante?
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Deine Verwirrung beruht offenbar darauf, dass für dich die Bezeichnungen Minorante und Majorante Worthülsen sind, unter denen du dir anschaulich nichts vorstellen kannst.
Gehen wir mal schrittweise vor:
Zunächst mal beziehen sich die Vergleiche zwischen [mm] a_i [/mm] (Majorante) und [mm] b_1 [/mm] (Minorante) auf die Beträge: [mm] |a_i|\ge |b_i|. [/mm] Denn sonst wäre [mm] a_i=1/i [/mm] eine Majorante von [mm] b_i=-i, [/mm] was aber nicht sein soll, da sonst keine vernünftigen Regeln zu Stande kommen.
Du weißt, dass eine Reihe nur dann konvergieren kann, wenn ihre Glieder eine Nullfolge bilden. Ein Beispiel ist die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2^i}.
[/mm]
Das reicht aber nicht, denn [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i} [/mm] divergiert, obwohl die Glieder eine Nullfolge bilden. Das liegt nun daran, dass im zweiten Fall die Glieder "langsamer" als im ersten Fall gegen 0 gehen. Du merkst dir somit als (mathematisch völlig unpräzise) Regel:
Eine Reihe konvergiert nur dann, wenn ihre Glieder "möglichst schnell klein" werden.
Jetzt kannst du dir gut merken:
Wenn die Majorante [mm] (a_i) [/mm] konvergiert, werden ihre Glieder schnell genug klein. Da aber die [mm] b_i [/mm] alle kleiner sind, muss die Minorante erst recht konvergieren.
Wenn allerdings die Minorante konvergiert, weiß man gar nichts über die Majorante: Da ihre Glieder größer sind, weiß man nicht, ob sie noch "schnell genug" für die Konvergenz klein werden oder nicht.
Wenn allerdings die Minorante divergiert, werden ihre Glieder nicht schnell genug klein. Da die Majorante noch größere Glieder hat, werden diese erst recht nicht schnell genug klein, und die Majorante muss auch divergieren.
Wenn allerdings die Minorante konvergiert, weiß man nichts über die Majorante, da ihre Glieder größer sind und daher langsamer klein werden: Reicht das noch zur Konvergenz, oder reicht das nicht mehr?
Versuche, dir das so zu merken. Lerne es NICHT auswendig: Spätestens in einem halben Jahr wirfst du sonst alles durcheinander!
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