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Forum "Kombinatorik" - Lotto 3 Richtige m. Zusatzzahl
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Lotto 3 Richtige m. Zusatzzahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:09 Di 30.09.2014
Autor: hase-hh

Aufgabe
Berechne die Wahrscheinlichkeit für 3 Richtige mit Zusatzzahl.

Deutsches Lotto, d.h.  6  aus  49, wird vorausgesetzt.


Moin!

Ich habe verschiedene Lösungsideen, weiß aber nicht welche davon richtig ist, und warum!


1. Idee

Ich ziehe zunächst 6 Kugeln. davon sind 3 "richtig".


[mm] \bruch{\vektor{6 \\ 3}*\vektor{43 \\ 3}}{\vektor{49 \\ 6}} [/mm] = 0,01765

Dann ziehe ich eine weitere Kugel...  und diese Kugel habe ich getippt... da ich noch drei bisher nichtgezogene Kugeln getippt habe...


[mm] \bruch{\vektor{3 \\ 1}\vektor{40 \\ 0}}{\vektor{43 \\ 1}} [/mm] =0,06977

0,01765*0,06977 = 0,00123  


2. Idee  

Nachdem ich 6 Kugeln gezogen habe, von denen drei "richtig" waren... multipliziere ich das Ganze mit [mm] \bruch{3}{43} [/mm]

[mm] 0,01765*\bruch{3}{43} [/mm] = 0,00123


3. Idee

Ich ziehe im Prinzip insgesamt 7 Kugeln...

3 Richtige, 1 Zusatzzahl (richtig) und 3 Nieten.


[mm] \bruch{\vektor{6 \\ 3}*\vektor{3 \\ 1}*\vektor{40 \\ 3}}{\vektor{49 \\ 7}} [/mm]

= 0,00690  


Was ich auch nicht verstehe... es werden doch insgesamt 7 Kugeln gezogen. Oder nicht?  

6 "reguläre" und danach eine Zusatzzahl.    


Wieso darf ich dann mit 6 Kugeln rechnen???  


4. Idee

Insgesamt ziehe ich 7 Kugeln, davon habe ich 3+1 getippt, die anderen 3 nicht.

[mm] \bruch{\vektor{6 \\ 4}*\vektor{43 \\ 3}}{\vektor{49 \\ 7}} [/mm]

= 0,00215


???



Danke für eure Hilfe!

        
Bezug
Lotto 3 Richtige m. Zusatzzahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:05 Di 30.09.2014
Autor: tobit09

Hallo hase-hh!


Vorweg: Ich habe nur die Terme überprüft und sie nicht in den Taschenrechner eingegeben.

Ich gehe davon aus, dass du gerundete Ergebnisse angegeben hast. Daher solltest du [mm] $\approx$ [/mm] anstelle von $=$ schreiben.


> 1. Idee
>  
> Ich ziehe zunächst 6 Kugeln. davon sind 3 "richtig".
>  
>
> [mm]\bruch{\vektor{6 \\ 3}*\vektor{43 \\ 3}}{\vektor{49 \\ 6}}[/mm]
> = 0,01765
>  
> Dann ziehe ich eine weitere Kugel...  und diese Kugel habe
> ich getippt... da ich noch drei bisher nichtgezogene Kugeln
> getippt habe...
>  
>
> [mm]\bruch{\vektor{3 \\ 1}\vektor{40 \\ 0}}{\vektor{43 \\ 1}}[/mm]
> =0,06977

Edit: Meine folgende Anmerkung war völliger Quatsch.
Wie kommt die 40 zustande? Ich hätte stattdessen 42 geschrieben. Aber wegen [mm] $\binom{40}{0}=1=\binom{42}{0}$ [/mm] ändert dies nichts an der Korrektheit des Ergebnisses.


> 0,01765*0,06977 = 0,00123  

[ok]


> 2. Idee  
>
> Nachdem ich 6 Kugeln gezogen habe, von denen drei "richtig"
> waren... multipliziere ich das Ganze mit [mm]\bruch{3}{43}[/mm]
>  
> [mm]0,01765*\bruch{3}{43}[/mm] = 0,00123

[ok]


> 3. Idee
>
> Ich ziehe im Prinzip insgesamt 7 Kugeln...

...von denen aber eine als Zusatzzahl ausgezeichnet wird.

> 3 Richtige, 1 Zusatzzahl (richtig) und 3 Nieten.
>  
>
> [mm]\bruch{\vektor{6 \\ 3}*\vektor{3 \\ 1}*\vektor{40 \\ 3}}{\vektor{49 \\ 7}}[/mm]
>  
> = 0,00690

[notok] Hier nimmst du [mm] $\binom{49}{7}$ [/mm] mögliche Ausgänge der Ziehung an. Du siehst als möglichen Ausgang also z.B. $5,12,13,22,25,31,40$ an. Daran kannst du aber gar nicht ablesen, welche der 7 Zahlen die Zusatzzahl ist und somit gar nicht entscheiden, ob 3 Richtige mit Zusatzzahl vorliegen. Daher ist diese Modellierung nicht geeignet, die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen.


> Was ich auch nicht verstehe... es werden doch insgesamt 7
> Kugeln gezogen. Oder nicht?  
>
> 6 "reguläre" und danach eine Zusatzzahl.    
>
>
> Wieso darf ich dann mit 6 Kugeln rechnen???

Bei deinen ersten beiden Ideen hast du die Ziehung korrekt als zweistufiges Zufallsexperiment modelliert: Die erste Stufe besteht in der Ziehung von 6 Kugeln und die zweite Stufe in der Ziehung einer Kugel aus den verbleibenden 43 Kugeln. Dann hast du korrekt zunächst die Wahrscheinlichkeit berechnet, in der ersten Stufe genau 3 richtige Kugeln zu ziehen.


> 4. Idee
>  
> Insgesamt ziehe ich 7 Kugeln, davon habe ich 3+1 getippt,
> die anderen 3 nicht.
>  
> [mm]\bruch{\vektor{6 \\ 4}*\vektor{43 \\ 3}}{\vektor{49 \\ 7}}[/mm]
>  
> = 0,00215

[notok] Gleicher Fehler wie bei deiner 3. Idee.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Lotto 3 Richtige m. Zusatzzahl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:33 Di 30.09.2014
Autor: hase-hh

Moin Tobias,

vielen Dank!



> > 1. Idee
>  >  
> > Ich ziehe zunächst 6 Kugeln. davon sind 3 "richtig".
>  >  
> >
> > [mm]\bruch{\vektor{6 \\ 3}*\vektor{43 \\ 3}}{\vektor{49 \\ 6}}[/mm]
> > = 0,01765
>  >  
> > Dann ziehe ich eine weitere Kugel...  und diese Kugel habe
> > ich getippt... da ich noch drei bisher nichtgezogene Kugeln
> > getippt habe...
>  >  
> >
> > [mm]\bruch{\vektor{3 \\ 1}\vektor{40 \\ 0}}{\vektor{43 \\ 1}}[/mm]
> > =0,06977
>  Wie kommt die 40 zustande? Ich hätte stattdessen 42
> geschrieben. Aber wegen [mm]\binom{40}{0}=1=\binom{42}{0}[/mm]
> ändert dies nichts an der Korrektheit des Ergebnisses.

Nachdem ich 6 Kugeln gezogen habe, befinden sich in der Trommel noch 43 Kugeln. Davon sind gem. Aufgabenstellung

(noch) 3 Kugeln, die ich getippt habe
und also (noch) 40 Kugeln, die ich nicht getippt habe.

Viele Grüße!


  

> > 0,01765*0,06977 = 0,00123  
> [ok]


Bezug
                        
Bezug
Lotto 3 Richtige m. Zusatzzahl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:05 Mi 01.10.2014
Autor: tobit09


> Nachdem ich 6 Kugeln gezogen habe, befinden sich in der
> Trommel noch 43 Kugeln. Davon sind gem. Aufgabenstellung
>
> (noch) 3 Kugeln, die ich getippt habe
> und also (noch) 40 Kugeln, die ich nicht getippt habe.

Danke für die Aufklärung! Du hast völlig recht, meine entsprechende Anmerkung war Blödsinn. [sorry]

Bezug
        
Bezug
Lotto 3 Richtige m. Zusatzzahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:59 Di 30.09.2014
Autor: rmix22


> Berechne die Wahrscheinlichkeit für 3 Richtige mit
> Zusatzzahl.
>  
> Deutsches Lotto, d.h.  6  aus  49, wird vorausgesetzt.
>  
> Moin!
>  
> Ich habe verschiedene Lösungsideen, weiß aber nicht
> welche davon richtig ist, und warum!
>  
>
> 1. Idee
>  
> Ich ziehe zunächst 6 Kugeln. davon sind 3 "richtig".
>  
>
> [mm]\bruch{\vektor{6 \\ 3}*\vektor{43 \\ 3}}{\vektor{49 \\ 6}}[/mm]
> = 0,01765
>  
> Dann ziehe ich eine weitere Kugel...  und diese Kugel habe
> ich getippt... da ich noch drei bisher nichtgezogene Kugeln
> getippt habe...
>  
>
> [mm]\bruch{\vektor{3 \\ 1}\vektor{40 \\ 0}}{\vektor{43 \\ 1}}[/mm]
> =0,06977
>  
> 0,01765*0,06977 = 0,00123  
>
>
> 2. Idee  
>
> Nachdem ich 6 Kugeln gezogen habe, von denen drei "richtig"
> waren... multipliziere ich das Ganze mit [mm]\bruch{3}{43}[/mm]
>  
> [mm]0,01765*\bruch{3}{43}[/mm] = 0,00123
>  
>
> 3. Idee
>
> Ich ziehe im Prinzip insgesamt 7 Kugeln...
>
> 3 Richtige, 1 Zusatzzahl (richtig) und 3 Nieten.
>  
>
> [mm]\bruch{\vektor{6 \\ 3}*\vektor{3 \\ 1}*\vektor{40 \\ 3}}{\vektor{49 \\ 7}}[/mm]
>  
> = 0,00690  
>
>
> Was ich auch nicht verstehe... es werden doch insgesamt 7
> Kugeln gezogen. Oder nicht?  
>
> 6 "reguläre" und danach eine Zusatzzahl.    
>
>
> Wieso darf ich dann mit 6 Kugeln rechnen???  
>
>
> 4. Idee
>  
> Insgesamt ziehe ich 7 Kugeln, davon habe ich 3+1 getippt,
> die anderen 3 nicht.
>  
> [mm]\bruch{\vektor{6 \\ 4}*\vektor{43 \\ 3}}{\vektor{49 \\ 7}}[/mm]
>  
> = 0,00215
>  
>
> ???

Dass nur die ersten beiden Varianten richtig sind, wurde ja schon geschrieben.
Vielleicht noch eine weitere Vorgehensweise:

1) Zusatzzahl wählen ... da gibt es nur eine Möglichkeit
2) Aus den 6 Richtigen werden genau 3 gewählt
3) aus den 42 verbleibénden zahlen (49 - 6 Richtige - 1 Zufallszahl) werden die restlichen zwei Zahlen gewählt.

Damit ergibt sich

     [mm] $\br{1*\vektor{6 \\ 3}*\vektor{42 \\ 2}}{\vektor{49 \\ 6}}=\br{205}{166474}\approx{0,12314 \%}$ [/mm]

Gruß RMix



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