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| Aufgabe | Wir betrachten die Vektoren
[mm] e_{1}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] e_{2}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 }
[/mm]
[mm] v_{1}=\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] v_{2}= \vektor{1 \\ 2 \\ 0 }
[/mm]
Welche Mengen aus je drei verschiedenen Vektoren sind linear unabhängig.
[mm] a)\{e_{1},e_{2},v_{1}\}
[/mm]
[mm] b)\{e_{1},e_{2},v_{2}\}
[/mm]
[mm] c)\{e_{1},v_{1},v_{2}\}
[/mm]
[mm] d)\{e_{2},v_{1},v_{2}\} [/mm] |
Hallo.
Ich habe durch [mm] \lambda_{1}*e_{i}+\lambda_{2}*e_{i}+\lambda_{3}*e_{i}=\vektor{0 \\ 0 \\0} [/mm] auf folgende Lösungen geschlossen:
a)linear unabhängig
b) Rein geometrisch würde ich behaupten, dass die Vektoren linear abhängig sind, da man sie durch gegenseitige Linearkombination erhält.
Mit dem Gauss-Algorithmus erhalte ich aber nur die triviale Lösung:
1 0 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0 0 -2 0 0
2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
1 2 0 0
0 -2 0 0
0 0 0 0
Ich denke mal, dass die Umformungen soweit klar sind.
Da in der letzten Zeile 0=0 steht, kann ich für [mm] \lambda_{3} [/mm] ja einen beliebigen Parameter setzen -> t.
Aber selbst mit dem Parameter komm ich durch die anderen Gleichungen auf [mm] \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=0
[/mm]
c) Auch hier geometrisch: linear unabhängig. Mit dem Gauss-Verfahren unlösbar, außer mit der trivialen Lösung.
d)linear unabhängig. Gauss-Verfahren nicht lösbar. Nur triviale Lösung.
Über eine Kontrolle würde ich mich freuen.
Grüße
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> Hallo.
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> Ich habe durch
> [mm]\lambda_{1}*e_{i}+\lambda_{2}*e_{i}+\lambda_{3}*e_{i}=\vektor{0 \\ 0 \\0}[/mm]
> auf folgende Lösungen geschlossen:
>
> a)linear unabhängig
richtig, warum? Naja, offensichtlich gibt es nur eine triviale Lösung.
> b) Rein geometrisch würde ich behaupten, dass die
> Vektoren linear abhängig sind, da man sie durch
> gegenseitige Linearkombination erhält.
Gauß ist hier zwar ok, aber man sieht es ja offensichtlich:
$ [mm] 1\cdot{}e_{1}+2\cdot{}e_{2}=1\cdot{}v_{2} [/mm] $
> c) Auch hier geometrisch: linear unabhängig. Mit dem
> Gauss-Verfahren unlösbar, außer mit der trivialen
> Lösung.
Sei $ [mm] e_{x}=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] $
Du siehst, dass bei [mm] v_2 [/mm] das [mm] x_2=2 [/mm] ist. Also muss das [mm] \lambda [/mm] des Vektors schon einmal null sein, denn die anderen haben jeweils [mm] x_2=0 [/mm] und $ [mm] \lambda_1 0+\lambda_2 [/mm] 0=2 $ geht nicht.
$ [mm] \lambda_1\cdot{}e_{1}+\lambda_2\cdot{}v_{1}+0\cdot{}v_{2}=0 [/mm] $
Und jetzt ist es offensichtlich:
[mm] \lambda_1\cdot{}e_{1}\not=\cdot{}v_{1}
[/mm]
> d)linear unabhängig. Gauss-Verfahren nicht lösbar. Nur
> triviale Lösung.
analog wie bei c)
Daher richtige Folgerung.
> Über eine Kontrolle würde ich mich freuen.
>
> Grüße
>
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