matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - Moduln und VektorräumeLineare Unabhängigkeit
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Lineare Unabhängigkeit
Lineare Unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Lineare Unabhängigkeit: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:59 Mo 18.05.2015
Autor: rsprsp

Aufgabe
Sei V ein [mm] \IK [/mm] Vektorraum, [mm] {x_{1}, . . . , x_{r}} [/mm] ⊆ V linear unabhängig. Zeige:
a) [mm] {x_{1}, . . . , x_{i-1}, x_{i} + x_{j} , x_{i+1}, . . . , x_{r}} [/mm] mit i, j ∈ {i, . . . , r} ist linear unabhängig
b) [mm] {x_{1}, . . . , x_{i-1}, λx_{i}, x_{i+1}, . . . , x_{r}} [/mm] mit 0 [mm] \not= [/mm] λ ∈ K, i ∈ {i, . . . , r} ist linear unabhängig

a)
Annahme [mm] {x_{1}, . . . , x_{i-1}, x_{i} + x_{j} , x_{i+1}, . . . , x_{r}} [/mm] sind linear abhängig

Es gibt [mm] (a_{1},a_{2},...,a_{r}) \not= [/mm] (0,0,...,0) mit [mm] a_{i}\in\IK [/mm] mit [mm] a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{i}(x_{i}+x_{j})+..+a_{r}x_{r} [/mm] = 0
also [mm] a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{i}x_{i}+a_{i}x_{j}+..+a_{r}x_{r} [/mm] = 0

Wenn [mm] (a_{1},a_{2},...,a_{i},a_{i},...,a_{r}) \not= [/mm] (0,0,...,0) heißt, dass [mm] {x_{1}, . . . , x_{i-1}, x_{i} + x_{j} , x_{i+1}, . . . , x_{r}} [/mm] linear abhängig sind also ein Widerspruch zur Voraussetzung.




b)Annahme [mm] {x_{1}, . . . , x_{i-1}, \lambda x_{i} , x_{i+1}, . . . , x_{r}} [/mm] sind linear abhängig

Es gibt [mm] (a_{1},a_{2},...,a_{r}) \not= [/mm] (0,0,...,0) mit [mm] a_{i}\in\IK [/mm] mit [mm] a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{i}\lambda x_{i}+..+a_{r}x_{r} [/mm] = 0

Da [mm] b_{i}:= a_{i}\lambda [/mm] als Produkt 2er Elemente von [mm] \IK [/mm] wieder in [mm] \IK [/mm] liegt, folgt

[mm] a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+b_{i} x_{i}+..+a_{r}x_{r} [/mm] = 0      
Wenn [mm] (a_{1},a_{2}, ...,b_{1},.....a_{r}) [/mm] ≠ (0,0,.....0) (***) heisst das, dass [mm] {x_{1}, x_{2}, ....,x_{r}} [/mm] lin. abh. sind.

Also ein Widerspruch zur Voraussetzung. q.e.d.

Nun noch zu (***).

Wenn [mm] a_{i} [/mm] = 0, ist mindestens ein [mm] a_{j} [/mm] ≠ 0, mit j≠i. (***) ist erfüllt.

Wenn [mm] a_{i} [/mm] ≠ 0 ==> [mm] \lambda [/mm] * [mm] a_{i} [/mm] ≠ 0, da [mm] \lambda≠0 [/mm] vorausgesetzt wurde. Somit ist (***) auch erfüllt.


Sind die Beweise richtig ? Kann mich mal jemand korrigieren und schreiben was ich falsch mache ?

        
Bezug
Lineare Unabhängigkeit: Ad a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:27 Di 19.05.2015
Autor: Ladon

Hallo rsprsp,

eigentlich nutzt du hier keinen Widerspruchsbeweis, sondern einen indirekten Beweis der Form
[mm] $$(A\Rightarrow B)\gdw (\neg B\Rightarrow \neg [/mm] A)$$ Mach dir den Unterschied einmal klar ([]vgl. Beweisprinzipien). Da ich wenig Zeit habe, erst mal nur eine Antwort zu a). Wenn ich gleich noch Zeit finde, kann ich gerne auch b) beantworten.
Dein Beweis zu a) ist von der Idee her vielleicht richtig. Ich würde nur folgendes ändern:

a) Annahme [mm]{x_{1}, . . . , x_{i-1}, x_{i} + x_{j} , x_{i+1}, . . . , x_{r}}[/mm] mit [mm] $i,j\in\{1,...,r\}$ [/mm] sind linear abhängig.
Unterscheide $i=j$ und [mm] $i\neq [/mm] j$.
Für $i=j$ sind wir fertig, denn dann folgt direkt durch [mm] \overline{a}_i:=2a_i, [/mm] dass [mm]a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+\overline{a}_{i}x_{i}+..+a_{r}x_{r}=0[/mm], also [mm] x_1,...,x_r [/mm] linear abhängig.
Für [mm] $i\neq [/mm] j$ nehmen wir o.E. $i<j$ an. Dann gibt es [mm](a_{1},a_{2},...,a_{r}) \not=[/mm] (0,0,...,0) mit [mm]a_{i}\in\IK[/mm] mit [mm]a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{i}(x_{i}+x_{j})+...+a_jx_j+...+a_{r}x_{r}=0[/mm], was zu  
[mm]a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{i}x_{i}+...+(a_{i}+a_j)x_{j}+..+a_{r}x_{r}=0[/mm] äquivalent ist. Setze [mm] $\overline{a}_j:=(a_{i}+a_j)$. [/mm] Dann folgt analog zu obiger Argumentation, dass [mm] x_1,...,x_r [/mm] linear abhängig sind.

MfG
Ladon


Bezug
        
Bezug
Lineare Unabhängigkeit: Ad b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:28 Di 19.05.2015
Autor: Ladon

Den Beweis zu b) würde ich so gelten lassen.
Allerdings sei noch mal auf den Unterschied zwischen Beweis durch Widerspruch und indirekten Beweis hingewiesen! (s.o.)

MfG
Ladon

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]