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Forum "Lineare Abbildungen" - Lineare Isometrien
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Lineare Isometrien: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:18 Mo 15.09.2014
Autor: Infonerd

Aufgabe
Es sei [mm] \gamma [/mm] eine lineare Isometrie eines 4 dimensionalen euklidischen Vektorraumes mit Determinate 1.

Zeigen Sie, dass es reele Zahlen a,b gibt, sodass das characteristische Polynom von [mm] \gamma [/mm] das folgende Polynom ist

[mm] X^4+aX^3+bX^2+aX+1 [/mm]

Das Thema Isometrien wurde in der Vorlesung leider ein bisschen an Schluss gequetscht und nur so halbherzig behandelt. Dadurch hab ich jetzt keine Ahnung wie ich an so eine Aufgabe herangehen soll. Kann mir da jemand behilflich sein?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Lineare Isometrien: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:56 Di 16.09.2014
Autor: hippias

Ohne naehere Informationen, was genau Du bisher wissen sollst, wuerde ich Dich bitten die Definition einer Isometrie mitzuteilen und Deine Vermutung, wie das Charakteristische Polynom eines beliebigen Endomorphismuses eines $4$-dimensionalen Vektorraumes aussieht.

Bezug
                
Bezug
Lineare Isometrien: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:50 Di 16.09.2014
Autor: Infonerd

Ok,
Isometrie: V,W seien normierte Vektorräume. Eine Abbildung von V--> W ist eine Isometrie wenn ||f(x) - f(y)|| = ||x-y||

eine lineare Isometrie f element End(V) lässt sich immer als Kompositionen von höchstens n Spiegelungen darstellen wenn v euklidischer Vektorraum ist



Bezug
                        
Bezug
Lineare Isometrien: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:56 Di 16.09.2014
Autor: hippias

Alles klar. Und jetzt bitte noch meine Frage hinsichtlich des charakteristischen Polynoms beantworten.

Versuche auch die Isometriebedingung mit Hilfe des Skalarproduktes auszudruecken und finde einen Zusammenhang zwischen der Matrixdarstellung $A$ von $f$ und [mm] $A^{-1}$ [/mm] und der transponierten [mm] $A^{t}$. [/mm]

Bezug
        
Bezug
Lineare Isometrien: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:48 Di 16.09.2014
Autor: fred97

Tipp:

Da die lineare Isometrie [mm] \gamma [/mm] ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen Raumes V ist, ist [mm] \gamma [/mm] bijektiv. Ist [mm] \gamma^{\star} [/mm] die zu [mm] \gamma [/mm] gehörige adjungierte Abbildung, so gilt:

    [mm] $\gamma^{\star} \circ \gamma= \gamma \circ \gamma^{\star} =id_V$. [/mm]

FRED

Bezug
        
Bezug
Lineare Isometrien: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Sa 20.09.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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