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Langrangschen Multiplikatoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:00 So 24.06.2012
Autor: chara18

Aufgabe
Für den Verkauf von Saft soll eine quaderförmige Kartonpackung mit einem
Volumen von 500 cm3 produziert werden. Das Material der Seitenflächen kostet 0,80 EUR pro cm2. Das Material des Deckels und des Bodens kostet 0,16 EUR pro cm2.
Berechnen sie die Maße (Länge, Breite, Höhe) der kostengünstigsten Packung.
Benutzen Sie dafür die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren.

Ich weiss überhaupt nicht wie ich vorangehen soll. Ich muss hierbei eine Nebenbindgung aufstellen und dann ein Minimum raussuchen. Aber leider komme ich nicht auf die Funktion, die ich mit der Langrangeschen Muliplikatoren aufstellen soll. Ich bitte um Hilfe:)

Danke im Voraus

        
Bezug
Langrangschen Multiplikatoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:25 So 24.06.2012
Autor: MathePower

Hallo chara18,

> Für den Verkauf von Saft soll eine quaderförmige
> Kartonpackung mit einem
>  Volumen von 500 cm3 produziert werden. Das Material der
> Seitenflächen kostet 0,80 EUR pro cm2. Das Material des
> Deckels und des Bodens kostet 0,16 EUR pro cm2.
>  Berechnen sie die Maße (Länge, Breite, Höhe) der
> kostengünstigsten Packung.
>  Benutzen Sie dafür die Methode der Lagrangeschen
> Multiplikatoren.
>  Ich weiss überhaupt nicht wie ich vorangehen soll. Ich
> muss hierbei eine Nebenbindgung aufstellen und dann ein
> Minimum raussuchen. Aber leider komme ich nicht auf die
> Funktion, die ich mit der Langrangeschen Muliplikatoren
> aufstellen soll. Ich bitte um Hilfe:)
>


Zunächst benötigst Du eine Zielfunktion, von der Du das Extremum
unter Nebenbedinung in Form des gegebenen Volumens bestimmen sollst.

Die Zielfunktion ergibt sich aus der Oberfläche des Quaders
unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Kosten pro Fläche.


> Danke im Voraus


Gruss
MathePower

Bezug
                
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Langrangschen Multiplikatoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:21 So 24.06.2012
Autor: chara18

Erstmal vielen Dank für die Antwort.
Die Idee hatte ich auch im Kopf, aber ich war mir nicht sicher.

O=2*0.80+2*0,16

wie komme ich nun auf die Nebenbedingung?  :S

Danke :)

Bezug
                        
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Langrangschen Multiplikatoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:58 Mo 25.06.2012
Autor: meili

Hallo chara18,

> Erstmal vielen Dank für die Antwort.
>  Die Idee hatte ich auch im Kopf, aber ich war mir nicht
> sicher.
>
> O=2*0.80+2*0,16

Soll das die Funktion für die Kosten der Packung sein?

So stimmt es noch nicht.
Es fehlen Variable.

Sei  a: Länge des Quaders, b: Breite des Quaders, c: Höhe des Quaders
Wie berechnen sich dann die Fläche des Bodens und des Deckels des Quaders,
und wie berechnen sich die Seitenflächen des Quaders?

Die Kosten bekommst Du, wenn Du die Boden- und die Deckelfläche mit
0,16 multipliziertst und die Seitenflächen mit 0,8 und alles addierst.
Das ist dann die Zielfunktion, die minimiert werden soll.

>  
> wie komme ich nun auf die Nebenbedingung?  :S

Die Nebenbedingung ist, dass die Packung ein Volumen von 500 cm³ hat:
V(a,b,c) = a*b*c = 500

>  
> Danke :)

Gruß
meili


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Langrangschen Multiplikatoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:51 Mo 25.06.2012
Autor: chara18

Oh stimmt die Variablen habe ich vergessen.
Dann komme ich auf die Funktion
F(x)=2*0,18a+2*0,16b+ y(a+b+c)=500

Danach muss ich diese funktion nach a, nach b , nach c und nach y ableiten.
wenn ich dies tue komme ich auf den Vektor

nach a abgeleitet      2*0,18+1
nach b abgeleitet      2*0,16+1
nach c abgeleitet        1
nach y abgeleitet       a+b+c


und danach muss ich das gleich null setzen .

Ist das was ich aufgestellt habe richtig?:)




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Bezug
Langrangschen Multiplikatoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:07 Mo 25.06.2012
Autor: Steffi21

Hallo, hast du noch nie die Oberfläche eines Quaders berechnet?

für die Kosten gilt:

K(a,b,c)=2ab*0,16+(2ac+2bc)*0,8

für das Volumen gilt:

V(a,b,c)=a*b*c=500

Steffi






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Bezug
Langrangschen Multiplikatoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:44 Mo 25.06.2012
Autor: chara18

Hallo,
doch habe ich, aber manchmal verstehen nicht alle sofort die Aufgabenstellung. :(

Ist der folgende Vektor richtig?
F(a,b,c)=K(a,b,c)+y*V(a,b,c)

nach a abgeleitet       2b*0,16+2c*0,8             =0
nach b abgeleitet       2a*0,16+2c*0,8             =0
nach c abgeleitet       (2a+2b)*0,8                    =0
nach y abgeleitet       a*b*c                              =500

Bezug
                                                        
Bezug
Langrangschen Multiplikatoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:33 Di 26.06.2012
Autor: MathePower

Hallo chara18,

> Hallo,
>  doch habe ich, aber manchmal verstehen nicht alle sofort
> die Aufgabenstellung. :(
>  
> Ist der folgende Vektor richtig?
>  F(a,b,c)=K(a,b,c)+y*V(a,b,c)
>  


Korrekterweise muss es hier lauten:

[mm]F(a,b,c,\blue{y})=K(a,b,c)+y*V(a,b,c)[/mm]


> nach a abgeleitet       2b*0,16+2c*0,8             =0
>  nach b abgeleitet       2a*0,16+2c*0,8             =0
>  nach c abgeleitet       (2a+2b)*0,8                    =0
>  nach y abgeleitet       a*b*c                              
> =500


In den ersten 3 Gleichungen fehlen
die partiellen Ableitungen von V nach a,b,c.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
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Langrangschen Multiplikatoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:20 Di 26.06.2012
Autor: chara18

Hallo,
ich habe die Korrektur vorgenommen,
nach a abgeleitet       2b*0,16+2c*0,8 +y         =0
nach b abgeleitet       2a*0,16+2c*0,8 +y            =0
nach c abgeleitet       (2a+2b)*0,8   +y                 =0
nach y abgeleitet       a*b*c                            =500

Ist die letzte Gleichung den richtig, ich habe sie nämlich gleich 500 gesetzt?

Gruss
Chara18

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Bezug
Langrangschen Multiplikatoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:15 Di 26.06.2012
Autor: meili

Hallo Chara18,

> Hallo,
> ich habe die Korrektur vorgenommen,

Es soll
F(a,b,c,y) = 2ab*0,16 + (2ac+2bc)*0,8 + y(abc-500)
partiell abgeleitet werden.

Bei der Ableitung nach a, b und c fehlt jeweils beim letzten Teil noch etwas.

> nach a abgeleitet       2b*0,16+2c*0,8 +y         =0

2b*0,16+2c*0,8 +ybc         =0

>  nach b abgeleitet       2a*0,16+2c*0,8 +y            =0

2a*0,16+2c*0,8 +yac            =0

>  nach c abgeleitet       (2a+2b)*0,8   +y                
> =0

(2a+2b)*0,8   +yab                  =0

>  nach y abgeleitet       a*b*c                            
> =500

[ok]

>
> Ist die letzte Gleichung den richtig, ich habe sie nämlich
> gleich 500 gesetzt?

Ja.  y*(abc - 500)  abgeleitet nach y ist: abc - 500.
Das gleich Null gesetzt: abc - 500 = 0
und Äquivalenzumformung +500 ergibt: abc = 500.

>  
> Gruss
>  Chara18

Gruß
meili

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Langrangschen Multiplikatoren: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:30 Di 26.06.2012
Autor: chara18

Dankeschönn:)

Jetzt weiß ich aber nicht genau wie ich die Gleichungen nach den  variablen auflösen soll,

die letzte Gleichung habe ich nach a aufgelöst, a =500/(b*c).
aber wenn ich diese Gleichung irgendwo einsetzte kommt was richtig kompliziertes raus. Ist das was ich denn mache richtig?

Bezug
                                                                                        
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Langrangschen Multiplikatoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:40 Di 26.06.2012
Autor: fred97

Multipliziere die 1. Gleichung mit a

Multipliziere die 2. Gleichung mit b

Multipliziere die 3. Gleichung mit c

Nutze aus, dass abc=500 ist.

FRED

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Langrangschen Multiplikatoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:55 Di 26.06.2012
Autor: chara18

vielen dank, die hilfreiche Antwort habe ich ausgenutzt. Jetzt komme ich auf die Geichungen +

2ab*0,16+2ac*0,80+y500=0
2ab*0,16+2bc*0,80+y500=0
(2a+2b)0,80c+y500=0

Dann habe ich die erste Gleichung mit der zweiten subtrahiert und nach a aufgelöst.
a=b*0,18

Wenn ich jetzt a in die dritte Gleichung einsetze komme ich auf:
2b= -y250/(0,8*0,16)


da stört das y :S



Bezug
                                                                                                        
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Langrangschen Multiplikatoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 Di 26.06.2012
Autor: Steffi21

Hallo, schreiben wir mal alles etwas freundlicher auf, du hast jetzt die Gleichungen:

(1) 0,32ab+1,6ac+500y=0
(2) 0,32ab+1,6bc+500y=0
(3) 1,6ac+1,6bc+500y=0
(4) abc=500

Gleichung (1) minus Gleichung (2)

1,6ac-1,6bc=0

daraus folgt a=b (für [mm] c\not=0) [/mm]

Gleichung (1) minus Gleichung (3)

0,32ab-1,6bc=0

daraus folgt a=5c (für [mm] b\not=0) [/mm]

jetzt hast du schon

a=5c und b=5c nun weiter

Steffi



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