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Kurvenintegrale berechnen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:41 Fr 19.05.2017
Autor: astol

Aufgabe
Berechnen Sie das folgenden Integra:
[mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{z^2(z^2+16)} dz}, \gamma:[0,2\pi]\to\IC, \gamma(t):=2e^{it} [/mm]

Hallo, ich habe versucht das Kurvenintegral zu berechnen und würde mich über ein kleines Feedback freuen. DANKE

Aus der Vorlesung wissen wir:
[mm] \integral_{\gamma}^{}{f(z) dz}:=\integral_{a}^{b}{f(\gamma(t))\gamma'(t) dt} [/mm]

Es gilt: [mm] \gamma'(t)=2*i*e^{it} [/mm] und somit
[mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{z^2(z^2+16)} dz}=\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{4e^{2it}(4e^{2it}+16)}*2ie^{it} dt}=\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{i}{2e^{it}(4e^{2it}+16)} dt}=\bruch{i}{8}\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{e^{3it}+4e^{it}} dt} [/mm]

...WolframAlpha...

[mm] =\bruch{i}{8}*(\bruch{i}{4}*e^{-it}-\bruch{i}{8}*tan^{-1}(2e^{-it})) [/mm]

Setzt man nun t=0 und [mm] t=2\pi [/mm] ein und subtrahiert diese voneinander so ist das Integral 0.

Erstmal: Kann ich das so machen? Und dann schließt sich die Frage an, wie kann ich die Stammfunktion per Hand bestimmen ohne WolframAlpha zu bemühen? Habt Ihr da einen Tipp für mich?

Gruß astol

        
Bezug
Kurvenintegrale berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:48 Fr 19.05.2017
Autor: fred97

Sei [mm] G:=\{z \in \IC: |z|<3\}, [/mm] so ist [mm] $f(z):=\frac{1}{z^2+16}$ [/mm] auf $G$ holomorph. Mit der Integralformel füe Ableitungen ist dann


$ [mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{z^2(z^2+16)} dz}= \integral_{\gamma}^{}{\bruch{f(z)}{z^2} dz}=2 \pi [/mm] i f'(0)=0$



Bezug
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