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Kurvenintegral: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:49 Fr 24.10.2014
Autor: arbeitsamt

Aufgabe
Gegeben seien die folgenden drei Kurven:

[mm] \gamma_1 [/mm] der Streckenzug durch die Punkte (0;0), (1;0), und (1;1) (in dieser Reihenfolge)

[mm] \gamma_2 [/mm] der Streckenzug durch die Punkte (0;0), (0;1), und (1;1) (in dieser Reihenfolge)

[mm] \gamma_3 [/mm] das Stück der Parabel [mm] y=x^2 [/mm] von (0;0) bis (1,1)

Berechnen Sie jeweils

[mm] \integral_{\gamma_k}{ydx+(x-y)dy} [/mm] und [mm] \integral_{\gamma_k}{ ydx-(x-y)dy} [/mm]

für k=1,2,3. Kommentieren Sie ihre Ergebnisse!





ich verstehe das Integral nicht ganz.  was ist hier x und y? variabeln oder funktionen? wozu brauch ich die Punkte der drei Kurven?

EDIT: achso es geht hier darum zu bestimmen ob die Kurven wegunabhängig oder wegabhängig sind

muss ich für [mm] \gamma_1 [/mm] das folgende Integral lösen?

[mm] \integral_{(0;0)}^{(0;1)}{ydx+(x-y)dy} [/mm] und [mm] \integral_{(0;0)}^{(0;1)}{ ydx-(x-y)dy} [/mm]

[mm] \integral_{(0;1)}^{(1;1)}{ydx+(x-y)dy} [/mm] und [mm] \integral_{(0;1)}^{(1;1)}{ ydx-(x-y)dy} [/mm]



        
Bezug
Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 Fr 24.10.2014
Autor: andyv

Hallo

> ich verstehe das Integral nicht ganz.  was ist hier x und
> y? variabeln oder funktionen? wozu brauch ich die Punkte
> der drei Kurven?

Falls dir die Integration von 1-Formen nicht geläufig kannst, kannst du das auch als Wegintegrale mit den Vektorfeldern [mm] $F_{\pm}(x,y)=\vektor{y\\ \pm(x-y)}$ [/mm] auffassen

>  
> EDIT: achso es geht hier darum zu bestimmen ob die Kurven
> wegunabhängig oder wegabhängig sind
>
> muss ich für [mm]\gamma_1[/mm] das folgende Integral lösen?

[mm] $\gamma_2$. [/mm]

>  
> [mm]\integral_{(0;0)}^{(0;1)}{ydx+(x-y)dy}[/mm] und
> [mm]\integral_{(0;0)}^{(0;1)}{ ydx-(x-y)dy}[/mm]
>  
> [mm]\integral_{(0;1)}^{(1;1)}{ydx+(x-y)dy}[/mm] und
> [mm]\integral_{(0;1)}^{(1;1)}{ ydx-(x-y)dy}[/mm]
>  

Genau, wobei die von dir verwendete Schreibweise nur dann Sinn macht, wenn das Kurvenintegral wegunabhängig ist.

Liebe Grüße


Bezug
                
Bezug
Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:13 Sa 25.10.2014
Autor: arbeitsamt

Für [mm] \gamma_1 [/mm] gilt:


[mm] \integral_{(0;0)}^{(1;0)}{ydx+(x-y)dy}=[xy]_{(0;0)}^{(0;1)}+[xy-\bruch{1}{2}*y^2]_{(0;0)}^{(0;1)}=0 [/mm]

[mm] \integral_{(1;0)}^{(1;1)}{ydx+(x-y)dy}=-\bruch{3}{2} [/mm]

[mm] \integral_{(0;0)}^{(1;0)}{ ydx-(x-y)dy}=0 [/mm]

[mm] \integral_{(1;0)}^{(1;1)}{ ydx-(x-y)dy}=-\bruch{1}{2} [/mm]

was genau soll ich aus den ergebnissen herleiten bzw. was soll ich zu den Ergebnissen kommentieren? die ergebnisse sind richtig oder?



Bezug
                        
Bezug
Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:44 Sa 25.10.2014
Autor: andyv

Nein, das sind doch keine Integrale über [mm] $\IR$, [/mm] sondern über Mannigfaltigkeiten (bzw. über Lipschitz-Ränder).

Wie ich schon in meinem ersten Post andeutete:
Berechne u.a. das Kurvenintegral [mm] $\int_{\gamma_1^{(1)}} [/mm] F [mm] \mathrm{d}s:=\int_{I} \left \mathrm{d}t$ [/mm] mit [mm] $F=\vektor{y\\x-y}$ [/mm] und der Strecke [mm] $\gamma_1^{(1)}$ [/mm] vom Ursprung zum Punkt (1,0) (Mit [mm] $\gamma: I\to \IR^2$ [/mm] bezeichne ich eine Parametrisierung der Strecke).

Liebe Grüße

Bezug
        
Bezug
Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:31 Sa 25.10.2014
Autor: fred97

Sei [mm] \gamma=(\gamma_1, \gamma_2)^T:[a,b] \to \IR^2 [/mm] ein stückweise stetig differenzierbarer Weg und [mm] f=(f_1,f_2)^T:Bild(\gamma) \to \IR^2 [/mm] stetig.

Das Integral [mm] \integral_{\gamma}^{}{f_1(x,y) dx +f_2(x,y) dy} [/mm] ist wie folgt definiert:


[mm] \integral_{\gamma}^{}{f_1(x,y) dx +f_2(x,y) dy}=\integral_{a}^{b}{(f_1(\gamma(t))\gamma_1'(t)+ f_2(\gamma(t))\gamma_2'(t)) dt} [/mm]

FRED

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