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Kurven: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:53 Do 20.06.2013
Autor: Richler

Aufgabe
Sei S := {(x,y,z) [mm] \in \IR^{3} [/mm] | 1 [mm] \ge \wurzel{x^{2} + y^{2}} [/mm] = z} Der Mantel eines Kegels.

Betrachten Sie die Kurven [mm] \gamma: [/mm] [0,2 [mm] \pi [/mm] ] -> [mm] \IR^{3} [/mm] , t [mm] \mapsto \vektor{ 1/2 cos t\\ 1/2 sin t \\ 1/2} [/mm] und [mm] \delta [/mm] : [0,2 [mm] \pi [/mm] ] -> [mm] \IR^{3} [/mm] , t [mm] \mapsto \vektor{ 1/8*cos^{2} t+3/8*cos t \\ 1/8*sin t *cos t +3/8 * sin t \\ 1/8*cos t +3/8} [/mm]

i. Zeigen Sie, dass die Spuren von [mm] \gamma [/mm] und [mm] \delta [/mm] in S liegen.
ii. Skizzieren Sie die Kurven [mm] \gamma [/mm] und [mm] \delta. [/mm]
iii. Zeigen Sie, dass [mm] \wedge (\delta) [/mm] < [mm] \wedge (\gamma) [/mm]

Einen schönen guten Abend =)...

zur i. Ich muss ja zuerst die Spuren bestimmen. Eine Spur ist doch das Bild, also sprich in meinem Fall bei [mm] \gamma [/mm] : [mm] \gamma [/mm] ( [0,2 [mm] \pi [/mm] ] ) = [mm] \vektor{[-1/2 , 1/2 ] \\ [-1/2 , 1/2 ] \\ 1/2} [/mm] , aber wie schreibt man das jetzt auf? Mir wurde gesagt, dass [mm] \pi [/mm] eigentlich rauskommen muss?

Richler

        
Bezug
Kurven: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:37 Do 20.06.2013
Autor: notinX

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo,

> Sei S := {(x,y,z) [mm]\in \IR^{3}[/mm] | 1 [mm]\ge \wurzel{x^{2} + y^{2}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

= z} Der Mantel eines Kegels.

>  
> Betrachten Sie die Kurven [mm]\gamma:[/mm] [0,2 [mm]\pi[/mm] ] -> [mm]\IR^{3}[/mm] , t
> [mm]\mapsto \vektor{ 1/2 cos t\\ 1/2 sin t \\ 1/2}[/mm] und [mm]\delta[/mm] :
> [0,2 [mm]\pi[/mm] ] -> [mm]\IR^{3}[/mm] , t [mm]\mapsto \vektor{ 1/8*cos^{2} t+3/8*cos t \\ 1/8*sin t *cos t +3/8 * sin t \\ 1/8*cos t +3/8}[/mm]
>  
> i. Zeigen Sie, dass die Spuren von [mm]\gamma[/mm] und [mm]\delta[/mm] in S
> liegen.
>  ii. Skizzieren Sie die Kurven [mm]\gamma[/mm] und [mm]\delta.[/mm]
>  iii. Zeigen Sie, dass [mm]\wedge (\delta)[/mm] < [mm]\wedge (\gamma)[/mm]
>  
> Einen schönen guten Abend =)...
>  
> zur i. Ich muss ja zuerst die Spuren bestimmen. Eine Spur
> ist doch das Bild, also sprich in meinem Fall bei [mm]\gamma[/mm] :
> [mm]\gamma[/mm] ( [0,2 [mm]\pi[/mm] ] ) = [mm]\vektor{[-1/2 , 1/2 ] \\ [-1/2 , 1/2 ] \\ 1/2}[/mm]
> , aber wie schreibt man das jetzt auf? Mir wurde gesagt,
> dass [mm]\pi[/mm] eigentlich rauskommen muss?

die Bedingung für S ist ja in Form einer Gleichung gegeben. Zeige, dass diese Gleichung für alle Punkte auf den Kurven erfüllt ist.

>
> Richler

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Kurven: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Do 20.06.2013
Autor: Richler

wie kann ich das machen, ich kann ja unmöglich alle punkte durchprobieren?

Bezug
                        
Bezug
Kurven: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 Do 20.06.2013
Autor: notinX


> wie kann ich das machen, ich kann ja unmöglich alle punkte
> durchprobieren?

Du hast doch die Gleichung [mm] $\sqrt{x^2+y^2}=z$ [/mm] und Du hast die Kurven in expliziter Form. Setz doch einfach mal die x- und y-Komponente ein und schau was rauskommt.

Gruß,

notinX

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Bezug
Kurven: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:38 Do 20.06.2013
Autor: Richler

Wieso gilt:
[mm] \bruch{1}{8} \wurzel{cos^{4} (x) + 6 cos^{3} (x) + 9 cos^{2} (x) + sin^{2} (x) * cos^{2} (x) + 6 sin^{2} (x) * cos(x) + 9 sin^{2} (x) } [/mm] = [mm] \bruch{1}{8} [/mm] ( cos(x) + 3) .. nach wolframalpha gilt das auch, aber ich sehe nicht wieso.. rechne schon seit ewigkeiten dran rum, aber bei mir bleibt immer noch unter der Wurzel (sin(x) * cos(x) + 3* [mm] sin(x))^{2} [/mm] stehen und das ist ja nicht 0.

Bezug
                                        
Bezug
Kurven: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:56 Do 20.06.2013
Autor: helicopter

Hallo,

> Wieso gilt:
> [mm]\bruch{1}{8} \wurzel{cos^{4} (x) + 6 cos^{3} (x) + 9 cos^{2} (x) + sin^{2} (x) * cos^{2} (x) + 6 sin^{2} (x) * cos(x) + 9 sin^{2} (x) }[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{8}[/mm] ( cos(x) + 3) .. nach wolframalpha gilt das
> auch, aber ich sehe nicht wieso.. rechne schon seit
> ewigkeiten dran rum, aber bei mir bleibt immer noch unter
> der Wurzel (sin(x) * cos(x) + 3* [mm]sin(x))^{2}[/mm] stehen und das
> ist ja nicht 0.  

Rechne nochmal nach, ich komme auf

[mm] cos^{4}(x)+6cos^{3}(x)+9cos^{2}(x)+sin^{2}(x)*cos^{2}(x)+6sin^{2}(x)*cos(x)+9sin^{2}(x)=9*(sin^2(x)+cos^2(x))+cos^2(x)*(sin^2(x)+cos^2(x))+6cos(x)*(sin^2(x)+cos^2(x))=cos^2(x)+6cos(x)+9 [/mm]


Gruß helicopter

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Kurven: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:29 Fr 21.06.2013
Autor: Richler

ja danke, jetzt habe ich es auch ^^

Bezug
        
Bezug
Kurven: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:06 Fr 21.06.2013
Autor: Richler

Kann mir jemand einen Tipp zur iii) geben?

Bezug
                
Bezug
Kurven: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:27 Fr 21.06.2013
Autor: fred97


> Kann mir jemand einen Tipp zur iii) geben?  

Was ist mit $ [mm] \wedge (\delta) [/mm] $ gemeint ?

FRED


Bezug
        
Bezug
Kurven: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:25 Fr 21.06.2013
Autor: fred97

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> Sei S := {(x,y,z) [mm]\in \IR^{3}[/mm] | 1 [mm]\ge \wurzel{x^{2} + y^{2}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> = z} Der Mantel eines Kegels.
>  
> Betrachten Sie die Kurven [mm]\gamma:[/mm] [0,2 [mm]\pi[/mm] ] -> [mm]\IR^{3}[/mm] , t
> [mm]\mapsto \vektor{ 1/2 cos t\\ 1/2 sin t \\ 1/2}[/mm] und [mm]\delta[/mm] :
> [0,2 [mm]\pi[/mm] ] -> [mm]\IR^{3}[/mm] , t [mm]\mapsto \vektor{ 1/8*cos^{2} t+3/8*cos t \\ 1/8*sin t *cos t +3/8 * sin t \\ 1/8*cos t +3/8}[/mm]
>  
> i. Zeigen Sie, dass die Spuren von [mm]\gamma[/mm] und [mm]\delta[/mm] in S
> liegen.
>  ii. Skizzieren Sie die Kurven [mm]\gamma[/mm] und [mm]\delta.[/mm]
>  iii. Zeigen Sie, dass [mm]\wedge (\delta)[/mm] < [mm]\wedge (\gamma)[/mm]
>  
> Einen schönen guten Abend =)...
>  
> zur i. Ich muss ja zuerst die Spuren bestimmen. Eine Spur
> ist doch das Bild,






>  also sprich in meinem Fall bei [mm]\gamma[/mm] :
> [mm]\gamma[/mm] ( [0,2 [mm]\pi[/mm] ] ) = [mm]\vektor{[-1/2 , 1/2 ] \\ [-1/2 , 1/2 ] \\ 1/2}[/mm]


Das ist doch völliger Unsinn !


> , aber wie schreibt man das jetzt auf?

Sei [mm] \gamma(t)=\vektor{c_1(t)\\ c_2(t) \\ c_3(t)} [/mm]

Zeigen sollst Du:

[mm] c_3(t)=\wurzel{c_1(t)^2+c_2(t)^2} \le [/mm] 1 für alle t [mm] \in [/mm] [0,2 [mm] \pi] [/mm]

FRED

> Mir wurde gesagt,
> dass [mm]\pi[/mm] eigentlich rauskommen muss?

Wieder völliger Unsinn !

>
> Richler


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