matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenStetigkeitKonvex/Rechts-linksseitige Abl
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Stetigkeit" - Konvex/Rechts-linksseitige Abl
Konvex/Rechts-linksseitige Abl < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvex/Rechts-linksseitige Abl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:54 Fr 09.01.2015
Autor: sissile

Aufgabe
Sei [mm] f:[a,b]\to\mathbb{R} [/mm] konvex. Zeigen Sie, dass f in jedem Punkt [mm] x\in(a,b) [/mm] eine rechts- und linksseitige Ableitung besitzt.

Hallo
Ich zeige dass die Abbildung monoton wachsend ist:
[mm] x\to h(x):=\frac{f(x)-f(\epsilon)}{x-\epsilon} [/mm]
wobei [mm] x\in [a,b]\cap]-\infty,\epsilon[, [/mm] d.h. [mm] x\in[a,\epsilon[ [/mm]
[mm] -)x [mm] y=\lambda x+(1-\lamnda)\epsilon [/mm] mit [mm] 0<\lambda<1 [/mm]
Nach Konvexität von f: [mm] \lambda f(x)+(1-\lambda)f(\epsilon)\ge [/mm] f(y)
[mm] \iff \lambda(f(x)-f(\epsilon))\ge [/mm] f(y) - [mm] f(\epsilon) [/mm]
Setzte [mm] 0<\lambda=\frac{y-\epsilon}{x-\epsilon} [/mm] < 1
Daraus ergibt sich: [mm] \frac{y-\epsilon}{x-\epsilon} (f(x)-f(\epsilon)) \ge f(y)-f(\epsilon) [/mm]
[mm] \iff \frac{f(x)-f(\epsilon)}{x-\epsilon} [/mm] < [mm] \frac{f(y)-f(\epsilon)}{y-\epsilon} [/mm]
[mm] \iff [/mm] h(x) < h(y)

Analog hab ich es gezeigt für [mm] x\in [/mm] [a,b] [mm] \cap ]\epsilon,\infty[, [/mm] d.h. [mm] x\in ]\epsilon,b] [/mm] für die rechtsseitige Ableitung.

Nun muss ich noch zeigen, dass h beschränkt ist, wo ich mir unsicher bin.
Für die rechtsseitige Ableitung(d.h. [mm] x\in ]\epsilon,b]) [/mm] kann ich doch h(x) beschränken durch h(b) oder?
Für [mm] x\in ]a,\epsilon[: [/mm] Da wir ein offenes Intervall haben [mm] \exists [/mm] r: [mm] [x-r,x+r]\in]a,\epsilon[ [/mm]
Da hätte ich aber das Problem, dass die obere Schranke von x abhängig ist wenn ich h(x) durch h(x+r) nach oben abschätze.

LG,
sissi


        
Bezug
Konvex/Rechts-linksseitige Abl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Fr 09.01.2015
Autor: leduart

Hallo sissile
betrachte f(x)=sin(x) x [mm] \in (0,\pi) [/mm] konvex aber nicht monoton steigend
außerdem, wie scjliesst du  denn auf die links undd rechrsseitige Ableitung?
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Konvex/Rechts-linksseitige Abl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:22 Sa 10.01.2015
Autor: sissile

Hallo leduart,
Ich hab ja nicht die Monotonie von f gezeigt(was ich niemals vor hatte) sondern von meiner Hilfsfunktion h(x) mit $ [mm] x\to h(x):=\frac{f(x)-f(\epsilon)}{x-\epsilon} [/mm] $. Für die Linksseitige Ableitung hab ich den Definitionsbereich eingeschränkt auf $ [mm] x\in[a,\epsilon[ [/mm] $ und für die rechtsseitige Ableitung auf $ [mm] x\in ]\epsilon,b] [/mm] $. Wobei man für die Beschränkheit den Definitionsbereich noch eingrenzen kann indem ich die Eckpunkte wegnehme.
Meine Frage galt nun der Beschränkheit von h(x). Wenn ich diese in beiden Fällen zeigen kann dann ist die Funktion h(x) monoton steigend und beschränkt demnaxh existiert der Grenzwert.
Was ist noch unklar?

LG,
sissi


Bezug
                        
Bezug
Konvex/Rechts-linksseitige Abl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:43 Sa 10.01.2015
Autor: hippias

Du betrachstes also $f$ bzw. $h$ auf dem Intervall [mm] $[a,\varepsilon[$. [/mm] Es sei [mm] $x\in [a,\eps[$. [/mm] Wenn Du nun $x$ als konvexe Kombination von $a$ und [mm] $\varepsilon$ [/mm] darstellst und nochmals die Konvexitaet von $f$ ausnutzt, dann folgt die Beschraenktheit von $h$.  

Bezug
                                
Bezug
Konvex/Rechts-linksseitige Abl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:14 So 11.01.2015
Autor: sissile


> Du betrachstes also [mm]f[/mm] bzw. [mm]h[/mm] auf dem Intervall
> [mm][a,\varepsilon[[/mm]. Es sei [mm]x\in [a,\eps[[/mm]. Wenn Du nun [mm]x[/mm] als
> konvexe Kombination von [mm]a[/mm] und [mm]\varepsilon[/mm] darstellst und
> nochmals die Konvexitaet von [mm]f[/mm] ausnutzt, dann folgt die
> Beschraenktheit von [mm]h[/mm].  

Hallo hippias,
Ich erhalte so leider keine Abschätzung nach oben. Wenn ich das so mache wie von dir vorgeschlagen:
[mm] x\in[a,\epsilon[ [/mm]
[mm] x=\lambda [/mm] a [mm] +(1-\lambda)\epsilon [/mm] mit [mm] 0<\lambda\le1 [/mm]
[mm] f(x)<\lambda f(a)+(1-\lambda)f(\epsilon) [/mm]
[mm] \iff f(x)-f(\epsilon)<\lambda (f(a)-f(\epsilon)) [/mm]
Wähle [mm] \lambda=\frac{\epsilon-x}{\epsilon-a} [/mm]
[mm] \frac{f(x)-f(\epsilon)}{\epsilon-x} [/mm] < [mm] \frac{f(a)-f(\epsilon)}{\epsilon-a} [/mm]
/*(-1)
[mm] \frac{f(x)-f(\epsilon)}{x-\epsilon} [/mm] > [mm] \frac{f(a)-f(\epsilon)}{a-\epsilon} [/mm]
[mm] \iff [/mm] h(x)>h(a)
LG,
sissi

Bezug
                                        
Bezug
Konvex/Rechts-linksseitige Abl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:48 So 11.01.2015
Autor: hippias

Stimmt, ich habe einen Vorzeichenfehler gemacht. Aber einen schoen subtilen: Es ist $h(x)= [mm] \frac{f(x)-f(\varepsilon)}{x-\varepsilon}$, $x\in [a,\varepsilon[$. [/mm] Fuer [mm] $x\leq x'<\varepsilon$ [/mm] sei $x'= [mm] \lambda (x-\varepsilon)+ \varepsilon$, [/mm] also [mm] $x'-\varepsilon=\lambda(x-\varepsilon)$. [/mm] Dann ist $h(x')= [mm] \frac{f(x')-f(\varepsilon)}{x'-\varepsilon}\leq \frac{\lambda(f(x)-f(\varepsilon))}{\lambda(x-\varepsilon)}= [/mm] h(x)$. Also ist $h$ fallend.

Das ist falsch! Denn das Vorzeichen des Nenners ist nicht beruecksichtigt worden. Es ist zwar [mm] $f(x')-f(\varepsilon)\leq \lambda(f(x)-f(\varepsilon))$, [/mm] aber [mm] $x'<\varepsilon$, [/mm] sodass tatsaechlich [mm] $\frac{f(x')-f(\varepsilon)}{x'-\varepsilon}\geq \frac{\lambda(f(x)-f(\varepsilon))}{x'-\varepsilon}= \frac{f(x)-f(\varepsilon)}{x-\varepsilon}$. [/mm]


Das wusstest Du aber, glaube ich, schon.

1. Fall: [mm] $f(a)\geq f(\varepsilon)$. [/mm] Aufgrund der Konvexitaet ist dann auch [mm] $f(x)\geq f(\varepsilon)$ [/mm] fuer alle [mm] $x\in [a,\varepsilon)$, [/mm] sodass [mm] $h\leq [/mm] 0$ ist und damit nach oben beschraenkt ist. In diesem Fall existiert die linksseitige Ableitung.
2. Fall: $f(a)< [mm] f(\varepsilon)$: [/mm] Wie eben folgt $f(x)< [mm] f(\varepsilon)$ [/mm] fuer alle [mm] $x\in [a,\varepsilon)$. [/mm] Und in diesem Fall ist die Behauptung, glaube ich, falsch. Ich definiere [mm] $x_{0}:= [/mm] 0$ und [mm] $x_{n+1}= x_{n}+(\frac{1}{3})^{n}$, [/mm] also [mm] $x_{n+1}= \sum_{i=0}^{n}(\frac{1}{3})^{i}$. [/mm] Analog sei [mm] $y_{0}=0$ [/mm] und [mm] $y_{n+1}= y_{n}+(\frac{1}{2})^{n}$, [/mm] also [mm] $y_{n+1}= \sum_{i=0}^{n}(\frac{1}{2})^{i}$. [/mm] Ferner definiere ich die Intervalle [mm] $I_{n}:= [x_{n},x_{n+1})$, $n\in \IN_{0}$. [/mm] Beachte, dass die [mm] $I_{n}$ [/mm] eine disjunkte Zerlegung des halboffenen Intervalls [mm] $[0,\frac{3}{2})$ [/mm] bilden.
Nun definiere ich auf dem Intervall [mm] $I_{n}$ [/mm] Funktion [mm] $f_{n}:I_{n}\to \IR$ [/mm] durch [mm] $f_{n}(x)= \frac{y_{n+1}-y_{n}}{x_{n+1}-x_{n}}(x-x_{n})+y_{n}= (\frac{3}{2})^{n}(x-x_{n})+y_{n}$ [/mm] (Strecke durch [mm] $(x_{n},y_{n})$ [/mm] und [mm] $(x_{n+1},y_{n+1})$). [/mm]

Schliesslich sei [mm] $f:[0,\frac{3}{2}]\to \IR$ [/mm] definiert durch $f(x):= [mm] \begin{cases} f_{n}(x) & x\in I_{n}\\ 2 & x= \frac{3}{2}\end{cases}$. [/mm]

Ich appeliere an die Anschauung, dass $f$ als aus immer steiler verlaufenden Geraden zusammengesetzte Funktion konvex ist, doch [mm] $\lim_{x\to \frac{3}{2}} \frac{f(x)-f(\frac{3}{2})}{x-\frac{3}{2}}= \infty$, [/mm] da [mm] $\geq (\frac{3}{2})^{n}$ [/mm] fuer alle [mm] $n\in \IN$. [/mm]

Bezug
                                                
Bezug
Konvex/Rechts-linksseitige Abl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:03 So 11.01.2015
Autor: sissile

Hallo,
Ich muss mir deinen Fall 2 noch genauer anschauen.
Aber ich hab im Internet das entdeckt:
http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~tdohnal/TEACH/Seminar_AnaIII_SS2013/Strickmann_Konvexe_Fkt.pdf
Intern S.4 ganz unten.

Bezug
                                                        
Bezug
Konvex/Rechts-linksseitige Abl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:34 So 11.01.2015
Autor: hippias

Ja, auf einem offenen Intervall kann ich hinter [mm] $\varepsilon$ [/mm] rutschen und den Quotienten wieder nach oben beschraenken. Damit laesst sich auch Fall 2 behandeln, bzw. eine Fallunterscheidnung wird ueberfluessig. Mein Beispiel funktioniert ja nur, weil es hinter [mm] $\varepsilon$ [/mm] fuer mein $f$ nicht mehr weiterging.

Edit: Dein $f$ ist aber auf einem endlichen abgeschlossenen Intervall definiert. Da bin ich dann skeptisch, ob der Satz unter diesen Voraussetzungen richtig ist.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]