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Konvergenzradius: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:32 Do 23.07.2015
Autor: rollroll

Aufgabe
Welchen Konvergenzradius hat die Taylorreihe bei Entwicklung um den Punkt 1 der Funktion f: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR, f(x)=sin(1+exp(\bruch{1}{1+x^2})) [/mm]

Hallo,

wie kann ich denn bei obiger Aufgabe vorgehen? In die Reihendarstellungen von sin bzw. exp einsetzen? Wie bekomme ich dann den Punkt 1 ins Spiel?

Danke schon mal

        
Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:54 Fr 24.07.2015
Autor: fred97


> Welchen Konvergenzradius hat die Taylorreihe bei
> Entwicklung um den Punkt 1 der Funktion f: [mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR, f(x)=sin(1+exp(\bruch{1}{1+x^2}))[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> wie kann ich denn bei obiger Aufgabe vorgehen? In die
> Reihendarstellungen von sin bzw. exp einsetzen? Wie bekomme
> ich dann den Punkt 1 ins Spiel?

Betrachte f auf [mm] \IC: [/mm] setze [mm] g(z):=sin(1+exp(\bruch{1}{1+z^2})) [/mm]

g hat in z=i und in z=-i isolierte Singularitäten.

Zeige: beide sind Pole von g.

g ist also holomorph auf dem Gebiet [mm] G=\IC \setminus \{i,-i\} [/mm] und es ist 1 [mm] \in [/mm] G.

Nun sei r>0 und [mm] K_r(1):={z \in \IC: |z-1|
Bestimme das größte r mit der Eigenschaft  [mm] K_r(1) \subseteq [/mm] G.

Was sagt nun der "Satz über die Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen"  über die Größe des Konvergenzradius R der Potenzreihentwicklung von g um 1 aus ?

Warum ist nun R der Konvergenzradius der Taylorreihe bei Entwicklung um den Punkt 1 der Funktion f: $ [mm] \IR [/mm] $ --> $ [mm] \IR, f(x)=sin(1+exp(\bruch{1}{1+x^2})) [/mm] $ ?

FRED

>  
> Danke schon mal


Bezug
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