matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenKonvergenzkriterien für Reihen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenzkriterien für Reihen
Konvergenzkriterien für Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenzkriterien für Reihen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:19 Do 27.11.2014
Autor: arraneo

Hallo zusammen !

Meine Aufgabe ist einige Reihen auf Konvergenz zu prüfen und bei einigen habe ich schon ein paar Probleme und weiß nicht wie ich voran kommen könnte.

i)  [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}} [/mm]

hier ist die Frage ob das Quetientenkriterium hilft? denn ich komme gar nicht weiter und vielleicht gibt es da einen anderen Weg... ?

also, es heißt bei mir:

[mm] \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\wurzel{n+2}-\wurzel{n+1}}{\wurzel{n+1}}\frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}=\frac{\wurzel{n(n+2)}-\wurzel{n(n+1}}{n+1-\wurzel{n(n+1)}}=\frac{[(n+1)+\wurzel{n(n+1)}][\wurzel{n(n+2)}-\wurzel{n(n+1)}]}{(n+1)^2-n(n+1)} [/mm]

Nach der Ausmultiplizieren erhalte ich dann :

[mm] \frac{(n+1)[\wurzel{n}(\wurzel{n+2}-\wurzel{n+1})-n] +n\wurzel{(n+1)(n+2)}}{n+1} [/mm]

Hätte jemanden bitte eine Idee wie ich hier weiter komme , oder wenn es einen anderen Weg gäbe, bitte mir das empfehlen :)

vielen Dank !

arraneo

        
Bezug
Konvergenzkriterien für Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Do 27.11.2014
Autor: fred97

Mit dem Quotientenkriterium kommst Du zu keiner Entscheidung



Sei [mm] a_n:=\frac{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}} [/mm]

Erweitere mit [mm] \wurzel{n+1}+\wurzel{n} [/mm]  und Du bekommst

[mm] a_n=\frac{1}{\wurzel{n^2+n}+n} [/mm]

Weiter ist [mm] n^2+n \le n^2+3n^2=4n^2 [/mm]

Hilft das ?

FRED

Bezug
                
Bezug
Konvergenzkriterien für Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 Do 27.11.2014
Autor: arraneo

Hey Fred!

Danke , JA, das hilft. Also dann wäre das die Geometrische Reihe mal 1/4 , die abs. konvergiert und Majorant für meine Reihe wäre :D

super !

Ich hätte leider noch ein paar Reihen, die ich nicht 'auf die Reihe' kriege :)

iii) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} n^3x^n [/mm] , wobei |x|< 1 ist.

wo ich wieder QK ausprobiert habe und komme auf:

[mm] Q:=\frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{(n+1)^3x}{n^3} \le \frac{(n+n)^3x}{n^3}=8x [/mm]

Sei also x:= [mm] \frac{1}{y} [/mm] mit [mm] y\in [/mm] Z , dann damit [mm] Q\le\theta<1 [/mm] stimmt, muss y>8 sein, was mir aber wenig bringt..

Ich kann aber leider keinen besseren Majorant finden, irgendwie.. :(

danke !

Bezug
                        
Bezug
Konvergenzkriterien für Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Do 27.11.2014
Autor: leduart

Hallo
ich seh da keine geometrische Reihe, wie kommst du daraufß mach mal die Abschätzung für das Ganze gertig!
beim nächsten würde ich das Wurzlkriterium, bzw, den Konvergenzradius über die nte Wurzel bestimmen.
Gruß leduart

Bezug
                                
Bezug
Konvergenzkriterien für Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:17 Do 27.11.2014
Autor: arraneo

achso ja, danke!

Also bei der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}} [/mm] :

Sei [mm] a_n:= \frac{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}} [/mm] , die wir dann wie Fred meinte durch : [mm] \wurzel{n+1}+\wurzel{n} [/mm] erweitern und somit erhalten:

[mm] a_n=\frac{1}{\wurzel{n^2+n}+n} [/mm]

Weiterhin gilt aber:

[mm] n^2+n\le n^2+3n^2=4n^2 [/mm]  . Sei also [mm] b_n:= \frac{1}{4n^2} [/mm]

Da die Reihe [mm] :\summe_{n=1}^{\infty}b_n= \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^2}=\frac{1}{4} \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} [/mm] = [mm] \frac{1}{4} \frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi^2}{24} [/mm] offensichtlich konvergiert und es gilt:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n \le \summe_{n=1}^{\infty} b_n [/mm] ,

konvergiert nach dem Majorantenkriterum auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n. [/mm]  

:)

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenzkriterien für Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:22 Do 27.11.2014
Autor: fred97


> achso ja, danke!
>
> Also bei der Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}}[/mm]
> :
>
> Sei [mm]a_n:= \frac{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}}[/mm] , die
> wir dann wie Fred meinte durch : [mm]\wurzel{n+1}+\wurzel{n}[/mm]
> erweitern und somit erhalten:
>
> [mm]a_n=\frac{1}{\wurzel{n^2+n}+n}[/mm]
>
> Weiterhin gilt aber:
>
> [mm]n^2+n\le n^2+3n^2=4n^2[/mm]  . Sei also [mm]b_n:= \frac{1}{4n^2}[/mm]
>  
> Da die Reihe [mm]:\summe_{n=1}^{\infty}b_n= \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^2}=\frac{1}{4} \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}[/mm]
> = [mm]\frac{1}{4} \frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi^2}{24}[/mm]
> offensichtlich konvergiert und es gilt:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n \le \summe_{n=1}^{\infty} b_n[/mm] ,
>
> konvergiert nach dem Majorantenkriterum auch
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n.[/mm]  
>
> :)


Nein. Das hast Du gründlich vergeigt ! Mit meinen Tipps:

[mm] a_n \ge \bruch{1}{2n} [/mm]

FRED

Bezug
                                                
Bezug
Konvergenzkriterien für Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 Do 27.11.2014
Autor: arraneo

achso das stimmt, denn die umgekehrte Ungleichung hilft dann gar nicht, also ich verstehe deine Tipps nicht :(

wie soll mir jetzt dieses : [mm] a_n\ge [/mm] 1/2n helfen? ich bräuchte doch was größeres als [mm] a_n, [/mm] was konvergiert , nicht umgekehrt, oder?

danke,
arraneo


Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenzkriterien für Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:57 Do 27.11.2014
Autor: fred97


> achso das stimmt, denn die umgekehrte Ungleichung hilft
> dann gar nicht, also ich verstehe deine Tipps nicht :(
>
> wie soll mir jetzt dieses : [mm]a_n\ge[/mm] 1/2n helfen? ich
> bräuchte doch was größeres als [mm]a_n,[/mm] was konvergiert ,
> nicht umgekehrt, oder?

Offenbar willst Du auf Biegen und Brechen, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] konvergiert.

Man mag es bedauern und Du kannst im Handstand La Paloma pupsen, aber es hilft nicht:

die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] divergiert.

Denn [mm] a_n \ge \bruch{1}{2n} [/mm] und  [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n} [/mm] ist divergent.

FRED

>
> danke,
>  arraneo
>  


Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenzkriterien für Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:04 Do 27.11.2014
Autor: arraneo

HAHAHHAHA !!! genial..

alles klar, keine Ahnung wie ich das nicht von vorne rein gesehen hab !!

danke Dir !

LG,

arraneo

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]