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Konvergenzen und Folgen: n aus N
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:16 So 22.11.2015
Autor: b.reis

Aufgabe
ist die Definition [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall \varepsilon> 0:|y-y_n|<\varepsilon \foralln>N [/mm] für ein festes y

[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN :|z-z_n|<\varepsilon \foralln>N [/mm] für ein festes z

Hallo,
Ist die Definition die selbe oder gibt's hier nen Unterschied  :  [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall \varepsilon> [/mm] 0 =?
[mm] \forall \varepsilon> [/mm] 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \varepsilon \IN [/mm]

vielen Dank
Benni

        
Bezug
Konvergenzen und Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:03 So 22.11.2015
Autor: schachuzipus

Hallo,


> ist die Definition [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall \varepsilon> 0:|y-y_n|<\varepsilon \foralln>N[/mm]
> für ein festes y

>

> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN :|z-z_n|<\varepsilon \foralln>N[/mm]
> für ein festes z
> Hallo,
> Ist die Definition die selbe oder gibt's hier nen
> Unterschied : [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall \varepsilon>[/mm] 0
> =?
> [mm]\forall \varepsilon>[/mm] 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\varepsilon \IN[/mm]

Ja, das ist ein großer Unterschied.

Man kann Existenz- und Allquantor i.d.R. nicht problemlos vertauschen ...

In der ersten Definition ist das [mm]N[/mm] ein universelles [mm]N[/mm], in der anderen ist es (i.a.R) von dem beliebig vorgegebenen [mm]\varepsilon[/mm] abhängig und je nach [mm]\varepsilon[/mm] verschieden ...

>

> vielen Dank
> Benni

Gruß

schachuzipus

Bezug
        
Bezug
Konvergenzen und Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:46 Mo 23.11.2015
Autor: fred97


> ist die Definition [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall \varepsilon> 0:|y-y_n|<\varepsilon \foralln>N[/mm]
> für ein festes y

Ich mach mal sichtbar, was im Quelltext zu sehen ist:

(*) [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall \varepsilon> 0:|y-y_n|<\varepsilon \forall n>N[/mm]

Nun nehmen wir an, y sei fest und für die Folge [mm] (y_n) [/mm] gelte (*). Ist dann k>N, so haben wir:

[mm] |y-y_k|<\varepsilon [/mm]  für jedes positive [mm] \varepsilon. [/mm]

Dann ist aber [mm] y_k=y. [/mm]

Damit gilt für die  Folge [mm] (y_n): y_n=y [/mm] für alle n mit n>N. [mm] (y_n) [/mm] ist also "fast konstant".

Es gibt viele konvergente Folgen, die diese Eigenschaft nicht haben !

FRED



>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN :|z-z_n|<\varepsilon \foralln>N[/mm]
> für ein festes z
>  Hallo,
>  Ist die Definition die selbe oder gibt's hier nen
> Unterschied  :  [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall \varepsilon>[/mm] 0
> =?
>  [mm]\forall \varepsilon>[/mm] 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\varepsilon \IN[/mm]
>
> vielen Dank
>  Benni


Bezug
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