Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 10:28 Fr 12.12.2014 | | Autor: | fred97 |
Ich kanns nicht lassen.... . Wieder ist mir eine reizvolle Aufgabe über den Weg gelaufen:
| Aufgabe | Es sei $m [mm] \in \IN$ [/mm] und die Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] sei aus der Klasse [mm] C^m(\IR). [/mm]
Weiter gelte [mm] $f^{(j)}(0)=0$ [/mm] für $j=0,...,m-1$ und [mm] $f^{(m)}(0) \ne [/mm] 0$ .
Wir betrachten die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(f(\bruch{1}{n}))^a.
[/mm]
Für welche Werte $a [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty)$ [/mm] ist diese Reihe absolut konvergent ? |
Gruß FRED
Edit: nachträglich habe ich die Aufgabe leicht modifiziert.
mit der üblichen Bitte an einen der Moderatoren... .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:26 Fr 12.12.2014 | | Autor: | Herby |
Salut,
eine Dummyfrage 
Grüße
Herby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:29 Mo 15.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich kanns nicht lassen.... . Wieder ist mir eine reizvolle
> Aufgabe über den Weg gelaufen:
>
> Es sei [mm]m \in \IN[/mm] und die Funktion [mm]f: \IR \to \IR[/mm] sei aus
> der Klasse [mm]C^m(\IR).[/mm]
>
> Weiter gelte [mm]f^{(j)}(0)=0[/mm] für [mm]j=0,...,m-1[/mm] und [mm]f^{(m)}(0) \ne 0[/mm]
> .
>
> Wir betrachten die Reihe
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(f(\bruch{1}{n}))^a.[/mm]
>
> Für welche Werte [mm]a \in (0, \infty)[/mm] ist diese absolut
> Reihe konvergent ?
>
>
>
>
> Gruß FRED
>
> Edit: nachträglich habe ich die Aufgabe leicht
> modifiziert.
>
> mit der üblichen Bitte an einen der Moderatoren... .
Da seit 5 Tagen keine Reaktion auf diese Aufgabe kam, hier meine Lösung:
Für $x [mm] \ne [/mm] 0 $ betrachten wir die Funktion [mm] $g(x):=\bruch{f(x)}{x^m}$.
[/mm]
Die Voraussetzungen zeigen, dass mit $m$ -facher Anwendung der Regel von de l'Hospital gilt:
[mm] $\limes_{x \rightarrow 0}g(x)=\limes_{x \rightarrow 0}\bruch{f^{(m)}(x)}{m!}=\bruch{f^{(m)}(0)}{m!}=:c.$
[/mm]
Wir haben also:
[mm] $\limes_{x \rightarrow 0}|\bruch{f(x)}{x^m}|=|c|>0$.
[/mm]
Daher gibt es ein $r>0$ mit:
$ [mm] \bruch{|c|}{2} \le |\bruch{f(x)}{x^m}| \le [/mm] 2|c|$ für $x [mm] \in [/mm] (-r,r) [mm] \setminus \{0\}$
[/mm]
Wegen $f(0)=0$ folgt somit:
$ [mm] \bruch{|c|}{2}*|x|^m \le [/mm] |f(x)| [mm] \le 2|c|*|x|^m$ [/mm] für $x [mm] \in [/mm] (-r,r) $.
Folglich gibt es ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] mit
$ [mm] \bruch{|c|}{2}*\bruch{1}{n^m}\le |f(\bruch{1}{n})| \le 2|c|*\bruch{1}{n^m}$ [/mm] für $n>N$.
Für $a>0$ bedeutet dies:
$ [mm] (\bruch{|c|}{2})^a*\bruch{1}{n^{ma}}\le |f(\bruch{1}{n})|^a \le 2|c|*\bruch{1}{n^{ma}}$ [/mm] für $n>N$.
Das Majorantenkriterium und die rechte Ungleichung zeigen:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(f(\bruch{1}{n}))^a [/mm] $ konvergiert absolut für $a> [mm] \bruch{1}{m}.$
[/mm]
Das Minorantenkriterium und die linke Ungleichung zeigen:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(f(\bruch{1}{n}))^a [/mm] $ konvergiert nicht absolut für $a [mm] \le \bruch{1}{m}.$
[/mm]
FAZIT: für $a>0$ gilt:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(f(\bruch{1}{n}))^a [/mm] $ konvergiert absolut [mm] \gdw [/mm] $a> [mm] \bruch{1}{m}.$
[/mm]
Eine Anwendung:
Die Reihe $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{n}- \sin(\bruch{1}{n}))^a [/mm] $ konvergiert [mm] \gdw [/mm] $a> [mm] \bruch{1}{3}.$
[/mm]
(Man beachte hierbei: [mm] $\bruch{1}{n}- \sin(\bruch{1}{n}) \ge [/mm] 0$ für alle $n [mm] \in \IN$)
[/mm]
FRED
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