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Konvergenz einer Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:25 Di 15.09.2015
Autor: ito

Aufgabe
Gilt
$$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{|a_i - b_i(n)|}{n} [/mm]  =0,$$
falls [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} b_i(n) =a_i$? [/mm]


Hallo zusammen,

ich benötige Hilfe bei der Aufgabe.
ich vermute, dass die Aussage stimmt. Leider habe ich keine Idee wie man dass zeigen kann. Meine erste Idee war die Induktion über $n$ und die typischen Konvergenzkriterien. Damit kommt man aber nicht weit, da die Folgen [mm] $c_i(n):= \frac{|a_i - b_i(n)|}{n} [/mm] $ von $n$ abhängen...
Vllt hat jemand einen Tipp?!

VG

        
Bezug
Konvergenz einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:15 Di 15.09.2015
Autor: hippias

Wenn der Beweis nicht gelingen will, dann koennte es besser sein ein Gegenbeispiel zu suchen.

Bezug
        
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Konvergenz einer Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:50 Di 15.09.2015
Autor: ito

Wahrscheinlich dachtest du an sowas wie [mm] $a_i:=i$ [/mm] und [mm] $b_i(n):=i+\frac{1}{n}$... [/mm]

Bezug
                
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Konvergenz einer Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 Di 15.09.2015
Autor: ito

Gilt die Behauptung unter der zusätzlichen Annahme
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{n} [/mm] = 0$$
und falls diese nicht reicht zusätzlich
[mm] $$\sum_{i=1}^{n} b_i(n)=0$$ [/mm]

Bezug
                        
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Konvergenz einer Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:03 Di 15.09.2015
Autor: hippias

Was soll denn das? Wie lauten denn nun die Voraussetzungen und um was geht es wirklich?

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Bezug
Konvergenz einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:49 Mi 16.09.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

wie fred schon sagte, ist deine ganze Aufgabenstellung abstrus, daher bedarf es mal einer konkreten Aufgabenstellung.

Auch deine "zusätzliche Bedingung"

>  [mm]\sum_{i=1}^{n} b_i(n)=0[/mm]

ist absolut nicht klar. Soll das für ein n gelten, für alle n, nur für einige, für n prim, gerade, ungerade?
Wie du siehst, viel Interpretationsspielraum....

Gruß,
Gono

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Konvergenz einer Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:32 Di 15.09.2015
Autor: fred97


> Wahrscheinlich dachtest du an sowas wie [mm]a_i:=i[/mm] und
> [mm]b_i(n):=i+\frac{1}{n}[/mm]...

Das ist kein Gegenbeispiel, denn

  [mm] $\sum_{i=1}^{n} \frac{|a_i - b_i(n)|}{n} =\frac{1}{n}$. [/mm]

FRED


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Konvergenz einer Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:34 Di 15.09.2015
Autor: ito

stimmt... da ist mir ein Fehler unterlaufen!


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Konvergenz einer Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:02 Di 15.09.2015
Autor: hippias

Nein.

Bezug
        
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Konvergenz einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:37 Di 15.09.2015
Autor: fred97


> Gilt
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{|a_i - b_i(n)|}{n} =0,[/mm]
>  
> falls [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_i(n) =a_i[/mm]?
>  
> Hallo zusammen,
>  
> ich benötige Hilfe bei der Aufgabe.
>  ich vermute, dass die Aussage stimmt.


Nein, sie stimmt nicht.


Nehmen wir  $ [mm] b_i(n):=i*\frac{1}{n}$. [/mm] Dann ist [mm] a_i=0 [/mm] und

  [mm] $\sum_{i=1}^{n} \frac{|a_i - b_i(n)|}{n} =\frac{n+1}{2n} \to \frac{1}{2}$ [/mm]  für $ n [mm] \to \infty$. [/mm]

FRED





> Leider habe ich
> keine Idee wie man dass zeigen kann. Meine erste Idee war
> die Induktion über [mm]n[/mm] und die typischen
> Konvergenzkriterien. Damit kommt man aber nicht weit, da
> die Folgen [mm]c_i(n):= \frac{|a_i - b_i(n)|}{n}[/mm] von [mm]n[/mm]
> abhängen...
>  Vllt hat jemand einen Tipp?!
>  
> VG


Bezug
                
Bezug
Konvergenz einer Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:47 Di 15.09.2015
Autor: ito

Dank dir für dein Gegenbeispiel! also brauchen wir die zusätzlichen Annahmen... deins ist kein Gegenbeispiel für die zusätzlichen Annahmen, da
[mm] $$\sum_{i=1}^{n} b_i(n)= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}i=\frac{1}{n}\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2}\not=0$$ [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz einer Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:58 Di 15.09.2015
Autor: fred97


> Dank dir für dein Gegenbeispiel! also brauchen wir die
> zusätzlichen Annahmen... deins ist kein Gegenbeispiel für
> die zusätzlichen Annahmen

Echt ? Hat auch niemand behauptet.

Ware es Dir möglich,  mal präzise zusagen, unter welchen Voraussetzungen,  was gelten soll ?

Fred



da

>  [mm]\sum_{i=1}^{n} b_i(n)= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}i=\frac{1}{n}\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2}\not=0[/mm]


Bezug
        
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Konvergenz einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:59 Mi 16.09.2015
Autor: fred97

Noch eine Bemerkung:

für jedes $i [mm] \in \IN$ [/mm] ist [mm] b_i [/mm] eine Folge, die gegen [mm] a_i [/mm] konvergiert. Damit konvergiert "die Folge der Folgen" [mm] (b_i)_{i \in \IN} [/mm] "punktweise" gegen  die Folge [mm] (a_i)_{i \in \IN}, [/mm] also:

   für jedes i [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] b_i(n) \to a_i [/mm] ($n [mm] \to \infty [/mm] $).

Diese punktweise Konvergenz reicht nicht aus , um

   (*)  $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{|a_i - b_i(n)|}{n} [/mm] =0 $

zu erzwingen.

Def.:

[mm] (b_i)_{i \in \IN} [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen [mm] (a_i)_{i \in \IN}, [/mm] wenn es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] N=N(\varepsilon) \in \IN [/mm] gibt mit

  [mm] |b_i(n)-a_i|< \varepsilon [/mm]  für alle n>N und alle i [mm] \in \IN. [/mm]



Man zeige: gleichmäßige Konvergenz zieht (*) nach sich.

FRED

Bezug
                
Bezug
Konvergenz einer Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:27 Mi 16.09.2015
Autor: ito

[mm] $$\sum_{i=1}^{n}\frac{|a_i - b_i(n)|}{n} [/mm] < [mm] \sum_{i=1}^{n}\frac{\epsilon}{n} [/mm] = [mm] \epsilon$$ [/mm]
ab [mm] $\epsilon$ [/mm] beliebig gilt die Konvergenz.


Bezug
                        
Bezug
Konvergenz einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:54 Mi 16.09.2015
Autor: fred97


> [mm]\sum_{i=1}^{n}\frac{|a_i - b_i(n)|}{n} < \sum_{i=1}^{n}\frac{\epsilon}{n} = \epsilon[/mm]
>  
> ab [mm]\epsilon[/mm] beliebig gilt die Konvergenz.
>  

Dazu sage ich nur:

     schlampig!

Fred


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