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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz+Grenzwert von Folge
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Konvergenz+Grenzwert von Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:00 Di 22.04.2014
Autor: Emma23

Aufgabe
Es sei c>0 gegeben. Für einen beliebigen Startwert [mm] x_{0}>0 [/mm] wird durch [mm] x_{n+1}:=\bruch{1}{2}(x_{n}+\bruch{c}{x_{n}}) [/mm] eine rekursive Folge definiert. Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert und dass für den Grenzwert [mm] x:=\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n} [/mm] die Gleichung [mm] x^{2}=c [/mm] gilt. Nutzen Sie ohne Beweise, dass [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IR [/mm] mit a,b>0 gilt: [mm] a\le b\Rightarrow a\le \wurzel{ab} \le \bruch{a+b}{2}\le [/mm] b.

Hallo zusammen. Ich hoffe, dass mir hier jemand bei der Aufgabe helfen kann. Ich weiß gar nicht, wie ich an sowas rangehen soll und wäre für Tipps sehr dankbar! Da ich neu hier bin, seid mir bitte nicht böse, wenn ich irgendwelche Formeln mal nicht richtig eingebe, aber ich geb mir Mühe :)

Grüße Emma

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenz+Grenzwert von Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:21 Di 22.04.2014
Autor: Sax

Hi,

Zeige, dass die Folge [mm] (x_n) [/mm] monoton und beschränkt (vst. Induktion) ist.
Benutze den Hauptsatz über monotone Folgen, der den Grenzwert x garantiert. Benutze schließlich, dass [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (x_{n+1}) [/mm] denselben Grenzwert haben, um x zu berechnen.

Gruß Sax.

Bezug
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