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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Komplexe geometrische Reihe
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Komplexe geometrische Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 Do 19.01.2017
Autor: Dom_89

Aufgabe
Gegeben ist die komplexe geometrische Reihe

[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{\overline{z}+2}{z})^k [/mm] , z=a+bi [mm] \in \IC [/mm]

a) Berechne das Konvergenzgebiet
b) Bestimme den Grenzwert der Reihe
c) Bestimme den Betrag des Grenzwertes

Hallo,

hier einmal meine Lösung:

a)

[mm] |\bruch{\overline{z}+2}{z}|<1 \Rightarrow |\bruch{a-bi+2}{a+bi}|<1 \Rightarrow \bruch{\wurzel{(a+2)^2+b^2}}{\wurzel{a^2+b^2}} [/mm] <1 [mm] \Rightarrow \wurzel{(a+2)^2+b^2} [/mm] < [mm] \wurzel{a^2+b^2} \Rightarrow [/mm] a < -1

b)

[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{\overline{z}+2}{z})^k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{\overline{z}+2}{z})^k-1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-\bruch{\overline{z}+2}{z}}-1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{z-\overline{z}+2}{z}}-1 [/mm] = [mm] \bruch{z}{z-\overline{z}+2}-1 [/mm] = [mm] \bruch{a+bi}{2bi+2}-1 [/mm] = [mm] \bruch{a-3bi+2}{2bi+2} [/mm]

c)

|Re|+|Im| = [mm] \wurzel{Re^2+Im^2} [/mm] = [mm] \wurzel{(a+2)^2+3b^2} [/mm]

Ist meine Lösung so richtig und kann man ggf. noch etwas verändern?

Vielen Dank!

        
Bezug
Komplexe geometrische Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:24 Do 19.01.2017
Autor: fred97


> Gegeben ist die komplexe geometrische Reihe
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{\overline{z}+2}{z})^k[/mm] , z=a+bi
> [mm]\in \IC[/mm]
>  
> a) Berechne das Konvergenzgebiet
>  b) Bestimme den Grenzwert der Reihe
>  c) Bestimme den Betrag des Grenzwertes
>  Hallo,
>  
> hier einmal meine Lösung:
>  
> a)
>  
> [mm]|\bruch{\overline{z}+2}{z}|<1 \Rightarrow |\bruch{a-bi+2}{a+bi}|<1 \Rightarrow \bruch{\wurzel{(a+2)^2+b^2}}{\wurzel{a^2+b^2}}[/mm]
> <1 [mm]\Rightarrow \wurzel{(a+2)^2+b^2}[/mm] < [mm]\wurzel{a^2+b^2} \Rightarrow[/mm]
> a < -1

Das stimmt nicht. Richtig: a < -1/2

Edit: a<-1 ist doch richtig.


>  
> b)
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{\overline{z}+2}{z})^k[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{\overline{z}+2}{z})^k-1[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{1-\bruch{\overline{z}+2}{z}}-1[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\bruch{z-\overline{z}+2}{z}}-1[/mm] =
> [mm]\bruch{z}{z-\overline{z}+2}-1[/mm] = [mm]\bruch{a+bi}{2bi+2}-1[/mm] =
> [mm]\bruch{a-3bi+2}{2bi+2}[/mm]

Das stimmt.


>  
> c)
>  
> |Re|+|Im| = [mm]\wurzel{Re^2+Im^2}[/mm] = [mm]\wurzel{(a+2)^2+3b^2}[/mm]

Zum ersten "=": Pythagoras dreht sich im Grabe um ! I.a. ist

  [mm] |x|+|y|=\wurzel{x^2+y^2} [/mm]

falsch !

Zum zweiten "=": lies die Aufgabenstellung nochmal.


>  
> Ist meine Lösung so richtig und kann man ggf. noch etwas
> verändern?
>  
> Vielen Dank!


Bezug
                
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Komplexe geometrische Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:55 Do 19.01.2017
Autor: Dom_89

Hallo fred,

vielen Dank für die Antwort!

Zu a)

Muss es hier richtig heißen [mm] \bruch{\wurzel{(a+2-1)^2+b^2}}{\wurzel{a^2+b^2}} [/mm]  ?

Ansonsten sehe ich meinen Fehler leider nicht :(

Bezug
                        
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Komplexe geometrische Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:58 Fr 20.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> vielen Dank für die Antwort!

>

> Zu a)

>

> Muss es hier richtig heißen
> [mm]\bruch{\wurzel{(a+2-1)^2+b^2}}{\wurzel{a^2+b^2}}[/mm] ?

>

> Ansonsten sehe ich meinen Fehler leider nicht :(

Ich hatte es schon gestern Abend durchgerechnet, bin aber nicht mehr zu einer echten Antwort gekommen. Deine Rechnung bei a), insbesondere dass a<-1 gelten muss für das Konvergenzgebiet, ist richtig. Vermutlich hat Fred sich irgendwie verrechnet.


Gruß, Diophant

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Komplexe geometrische Reihe: weshalb nicht a<-1?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:15 Do 19.01.2017
Autor: Diophant

Hallo Fred,

Aufgabe a führt doch auf die Betragsungl.

|a+2|<|a|

Ich bekomme da auch a<-1 als Lösungsmenge, wie auch der Themenstarter.

Gruß, Diophant



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Komplexe geometrische Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:23 Fr 20.01.2017
Autor: fred97

Hallo Diophant,

upps ! Du hast recht !

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Komplexe geometrische Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:26 So 22.01.2017
Autor: Dom_89

Hallo,

ich stehe bei Teil c) immer noch etwas auf dem Schlauch :(

Mit Teil b) habe ich ja den Grenzwert erhalten $ [mm] \bruch{a-3bi+2}{2bi+2} [/mm] $

Da ich jeweils im Zähler und Nenner einen Real- und Imaginärteil habe, denke ich, dass ich diese zunächst trennen muss. Ich habe dazu folgende Vorschrift gefunden:  [mm] \bruch{a+bi}{c+di} [/mm] = [mm] \bruch{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} [/mm] = [mm] \bruch{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2} [/mm]

Bedeutet das dann für meinen Fall: [mm] \bruch{((a+2)+3bi)(2-2bi)}{2^2+2^2} [/mm] ?

Viele Dank

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Komplexe geometrische Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 So 22.01.2017
Autor: leduart

Hallo
auch dein Ergebnis für b)  hat im Nenner noch einen Fehler  Nenner richtig ist 2b*i-2

Betrag eines Bruches ist Betrag Zähler / Betrag  Nenner , das ist einfacher.
Gruß leduart.

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Komplexe geometrische Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:06 Do 26.01.2017
Autor: Dom_89

Hallo leduart,

bedeutet das, dass um den Bruch aus b) nur Betragsstrich gesetzt werden müssen?

Bezug
                                        
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Komplexe geometrische Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 Do 26.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

>

> bedeutet das, dass um den Bruch aus b) nur Betragsstrich
> gesetzt werden müssen?

Nein, das bedeutet natürlich, dass diese Beträge auch ausgerechnet werden müssen.


Gruß, Diophant

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Komplexe geometrische Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:46 So 29.01.2017
Autor: Dom_89

Hallo,

[mm] |\bruch{a-3bi+2}{2bi-2}| [/mm] = [mm] \bruch{|a-3bi+2|}{|2bi-2|} [/mm]

Jetzt sehe ich aber nicht, wie ich weiter vorgehen kann bzw. wie man die Beträge auflösen soll ist mir unklar.

Hoffe, dass ihr mir helfen könnt



Bezug
                                                        
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Komplexe geometrische Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:38 So 29.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo,

>

> [mm]|\bruch{a-3bi+2}{2bi-2}|[/mm] = [mm]\bruch{|a-3bi+2|}{|2bi-2|}[/mm]

>

> Jetzt sehe ich aber nicht, wie ich weiter vorgehen kann
> bzw. wie man die Beträge auflösen soll ist mir unklar.

>

> Hoffe, dass ihr mir helfen könnt

>

Wenn ich das richtig sehe, wurde das bereist mehrfach vorgeschlagen. Man berechnet die Beträge von Zähler und Nenner getrennt und dividiert sie durcheinander.

Ich rechne dir den Nenner:

[mm] \left|-2+2bi\right|=\sqrt{4+4b^2}=2*\sqrt{1+b^2} [/mm]

Verbleibt für dich der Zähler, und dann noch beide Beträge dividieren.

Wenn man solche Aufgaen erfolgreich bearbeiten möchte, dann sollte man die Grundlagen der Komplexen Zahlen einigermaßen verinnerlicht haben. Das ist bei dir nicht der Fall (soviel kann man hier herauslesen). Von daher wäre es in deinem Interesse sinnvoller, ein Lehrbuch oder Skript zu studieren als hier im Blindflug weiterzumachen...


Gruß, Diophant

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Komplexe geometrische Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:12 So 29.01.2017
Autor: Dom_89

Hallo,

danke für die Antwort!

Dann versuche ich es mal für den Zähler:

|(a+2)-3bi| = [mm] \wurzel{(a+2)^2+(-3b)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{a^2+4+9b^2} [/mm]


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Komplexe geometrische Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:13 So 29.01.2017
Autor: M.Rex

Hallo

Nein, bedenke die binomische Formel.

Marius

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Komplexe geometrische Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 So 29.01.2017
Autor: Dom_89

Hallo,

hier nochmal:

|(a+2)-3bi| = $ [mm] \wurzel{(a+2)^2+(-3b)^2} [/mm] $ = [mm] \wurzel{a^2+4a+4+9b^2} [/mm]

kann man das dann so stehen lassen, oder muss noch etwas geändert werden ?


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Komplexe geometrische Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:11 So 29.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

das scheint mir jetzt richtig zu sein. Das Binom in der Wurzel muss man nicht zwingend ausmultiplizieren, nur von Beachten war die Rede.

Gruß, Diophant

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Komplexe geometrische Reihe: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:10 Do 02.02.2017
Autor: Dom_89

Hallo,

ich habe noch einmal eine kurze Frage:

Mein ursprünglich angegebenes Ergebnis lautete ja

$ [mm] \bruch{a-3bi+2}{2bi-2} [/mm] $

In einer Diskussion kam nun die Vermutung auf, dass das richtige Ergebnis doch

[mm] \bruch{a-bi-2}{2bi-2} [/mm]

lauten muss.


Nun bin ich mir unsicher, was richtig ist. Könntet ihr da nochmal drüber schauen?

Vielen Dank



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Komplexe geometrische Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:24 Do 02.02.2017
Autor: Diophant

Hallo,

zunächst muss ich gestehen, dass ich in meinen Antworten den Grenzwert nicht nachgeprüft hatte, sondern übernommen habe. Der hier kursierende Grenzwert ist in der Tat falsch.

Ich bekomme

[mm]\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{ \overline{z}+2}{z}\right)^k&=\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{a-ib+2}{a+ib}\right)^k\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=0}^{n}\left(\frac{a-ib+2}{a+ib}\right)^k-1\\ &=\frac{1}{1-\frac{a-ib+2}{a+ib}}-1\\ &=\frac{1}{\frac{a+ib-(a-ib+2)}{a+ib}}-1\\ &=\frac{1}{\frac{2ib-2}{a+ib}}-1\\ &=\frac{a+ib}{2ib-2}-1\\ &=\frac{a+ib-2ib+2}{2ib-2}\\ &=\frac{a+2-ib}{-2+2ib} \end{aligned}[/mm]

Also auch ein von deinem abweichenden Grenzwert. Wie so oft: zu Beginn meiner Antwort wusste ich noch nicht, was ich jetzt weiß: dass noch Arbeit auf mich wartet. Insofern könnte das nochmals jemand nachrechnen, ich kann nicht ganz ausschließen, dass auch mir ein Fehler unterlaufen ist.


Gruß, Diophant

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