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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Komplexe Gleichung lösen
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Komplexe Gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 Mo 27.07.2015
Autor: X3nion

Aufgabe
Man bestimme Real- und Imaginärteil von z [mm] \in \IC, [/mm] wenn z die folgenden Bedingungen erfüllt:

[mm] \bruch{z}{|z| \* (3+j)} [/mm] = [mm] \bruch{|z|}{2+4j} [/mm]

Hallo zusammen!

Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter.
Wenn ich die behandle wie eine reele Gleichung, so kann ich ja mit den Nennern durchmultiplizieren und erhalte folgendes, wenn z = a+bj ist:

(a+bj) [mm] \* [/mm] (2+4j) = [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} \* [/mm] (3+j)

<=> 2a + 4aj + 2bj - 4b = [mm] 3a^{2} [/mm] + [mm] a^{2}j [/mm] + [mm] 3b^{2} [/mm] + [mm] b^{2}j [/mm]

Ein Koeffizientenvergleich würde nun liefern:

2a - 4b = [mm] 3a^{2} [/mm] + [mm] 3b^{2} [/mm]
4a + 2b = [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm]

Damit habe ich nun aber ein nicht-lineares Gleichungssystem, wo ich nun nicht mehr weiter weiß.
Könnt ihr mir helfen?

Viele Grüße,
Christian

        
Bezug
Komplexe Gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:58 Mo 27.07.2015
Autor: M.Rex

Hallo


> Man bestimme Real- und Imaginärteil von z [mm]\in \IC,[/mm] wenn z
> die folgenden Bedingungen erfüllt:

>

> [mm]\bruch{z}{|z| \* (3+j)}[/mm] = [mm]\bruch{|z|}{2+4j}[/mm]
> Hallo zusammen!

>

> Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter.
> Wenn ich die behandle wie eine reele Gleichung, so kann
> ich ja mit den Nennern durchmultiplizieren und erhalte
> folgendes, wenn z = a+bj ist:

>

> (a+bj) [mm]\*[/mm] (2+4j) = [mm]a^{2}[/mm] + [mm]b^{2} \*[/mm] (3+j)

>

> <=> 2a + 4aj + 2bj - 4b = [mm]3a^{2}[/mm] + [mm]a^{2}j[/mm] + [mm]3b^{2}[/mm] +
> [mm]b^{2}j[/mm]

>

> Ein Koeffizientenvergleich würde nun liefern:

>

> 2a - 4b = [mm]3a^{2}[/mm] + [mm]3b^{2}[/mm]
> 4a + 2b = [mm]a^{2}[/mm] + [mm]b^{2}[/mm]

Das habe ich jetzt nicht weiter nachgerechnet, ich gehe also von diesem Gleichungssystem aus.


>

> Damit habe ich nun aber ein nicht-lineares
> Gleichungssystem, wo ich nun nicht mehr weiter weiß.
> Könnt ihr mir helfen?

Du hast also:

[mm]\begin{vmatrix}2a-4b=3a^{2}+3b^{2}\\4a+2b=a^{2}+b^{2}\end{vmatrix}[/mm]

[mm]\stackrel{II\cdot3}{\Leftrightarrow}\begin{vmatrix}2a-4b=3a^{2}+3b^{2}\\12a+6b=3a^{2}+3b^{2}\end{vmatrix}[/mm]

[mm] \stackrel{II-I}{\Leftrightarrow}\begin{vmatrix}2a-4b=3a^{2}+3b^{2}\\10a+10b=0\end{vmatrix} [/mm]

[mm] \Leftrightarrow\begin{vmatrix}2a-4b=3a^{2}+3b^{2}\\b=-a\end{vmatrix} [/mm]

Wenn du nun Gleichung II in Gleichung I einsetzt, bekommst du eine Gleichung für a (oder b, das ginge hier auch)


>

> Viele Grüße,
> Christian

Marius

Bezug
                
Bezug
Komplexe Gleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:09 Mo 27.07.2015
Autor: X3nion

Hallo Marius,

danke für deine zügige Antwort!

Ich habe mich von den Quadraten einschüchtern lassen, als stur mit ihnen weiterzurechnen.

Viele Grüße,
Christian

Bezug
        
Bezug
Komplexe Gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 Di 28.07.2015
Autor: fred97

Gehe in




$ [mm] \bruch{z}{|z| * (3+j)} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{|z|}{2+4j} [/mm] $

rechts und links zum Betrag über. Dann bekommst Du [mm] |z|=\wurzel{2}. [/mm]

Das liefert z= [mm] \bruch{3+i}{1+2j} [/mm]

Jetzt Du.

FRED

Bezug
                
Bezug
Komplexe Gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:21 Sa 24.10.2015
Autor: X3nion

Hallo fred,

ich hatte damals die Aufgabe anders gelöst und nicht mehr die Antworten zu diesem Beitrag angeschaut. Nun beim nochmaligen Überblick über meine Themen habe ich deine Antwort bemerkt.
Vielen Dank dafür!

Wie meintest du denn das mit "gehe auf beiden Seiten in den Betrag über" ?
Meinst du es so?

[mm] \left| \frac{z}{|z| * (3+j)}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{|z|}{2 + 4j}\right| [/mm]

Viele Grüße, Christian

Bezug
                        
Bezug
Komplexe Gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:38 So 25.10.2015
Autor: fred97


> Hallo fred,
>  
> ich hatte damals die Aufgabe anders gelöst und nicht mehr
> die Antworten zu diesem Beitrag angeschaut. Nun beim
> nochmaligen Überblick über meine Themen habe ich deine
> Antwort bemerkt.
>  Vielen Dank dafür!
>  
> Wie meintest du denn das mit "gehe auf beiden Seiten in den
> Betrag über" ?
>  Meinst du es so?
>  
> [mm]\left| \frac{z}{|z| * (3+j)}\right|[/mm] = [mm]\left|\frac{|z|}{2 + 4j}\right|[/mm]


Ja

FRED

>
> Viele Grüße, Christian


Bezug
                                
Bezug
Komplexe Gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:21 Mo 26.10.2015
Autor: X3nion

z / |z| (3+j) = |z| / (2+4j)

Hallo FRED,

vielen Dank für Ihre Antwort!
In der Rechnung kommt dann ja vor der Betrag vom Betrag, also | |z| |, aber dies ist dann nichts anderes als einfach |z| oder?

Gruß X3nion

Bezug
                                        
Bezug
Komplexe Gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:38 Mo 26.10.2015
Autor: fred97


> z / |z| (3+j) = |z| / (2+4j)


????


Nein ! Aus

$ [mm] \left| \frac{z}{|z| \cdot{} (3+j)}\right| [/mm] $ = $ [mm] \left|\frac{|z|}{2 + 4j}\right| [/mm] $

bekommst Du:

[mm] \bruch{1}{|3+j|}=\bruch{|z|}{|2+4j|} [/mm]

FRED

>  
> Hallo FRED,
>  
> vielen Dank für Ihre Antwort!
>  In der Rechnung kommt dann ja vor der Betrag vom Betrag,
> also | |z| |, aber dies ist dann nichts anderes als einfach
> |z| oder?
>  
> Gruß X3nion


Bezug
                                                
Bezug
Komplexe Gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:01 Mo 26.10.2015
Autor: X3nion

Ahh pardon, da ich gerade auf dem Handy antworte war das "z / |z| (3+j) = |z| / (2+4j)"
für mich, damit ich die Aufgabe sehe. Habe vergessen es zu löschen.

Hmm meine Frage bestand darin, ob der Betrag vom Betrag etwas an diesem ändert,
also: [mm] \left| \frac{z}{|z| * (3+j)}\right| [/mm] = [mm] \left| \frac{|z|}{(2+4j)}\right| [/mm]

<=> [mm] \frac{|z|}{| |z| | * |3+j|} [/mm] = [mm] \frac{| |z| |}{|2+4j|} [/mm]

<=> [mm] \frac{|z|}{|z| * |3+j|} [/mm] = [mm] \frac{|z|}{|2+4j|} [/mm]

<=> [mm] \frac{|2+4j|}{|3+j|} [/mm] = [mm] \frac{|z|^{2}}{|z|} [/mm]

<=> [mm] \frac{\wurzel{20}}{\wurzel{10}} [/mm] = |z|

<=> |z| = [mm] \wurzel{2} [/mm]

Nun: Um auf die Lösung zu kommen, muss ja | |z| | = |z| gelten. Ist dies so, da |z| ja bereits die positive Länge des Zeigers einer komplexen Zahl ist und ein weiterer Betrag davon somit nichts verändert?

Gruß X3nion

Bezug
                                                        
Bezug
Komplexe Gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Mo 26.10.2015
Autor: schachuzipus

Hallo Chris,

> Ahh pardon, da ich gerade auf dem Handy antworte war das "z
> / |z| (3+j) = |z| / (2+4j)"
> für mich, damit ich die Aufgabe sehe. Habe vergessen es
> zu löschen.

>

> Hmm meine Frage bestand darin, ob der Betrag vom Betrag
> etwas an diesem ändert,
> also: [mm]\left| \frac{z}{|z| * (3+j)}\right|[/mm] = [mm]\left| \frac{|z|}{(2+4j)}\right|[/mm]

>

> <=> [mm]\frac{|z|}{| |z| | * |3+j|}[/mm] = [mm]\frac{| |z| |}{|2+4j|}[/mm]

>

> <=> [mm]\frac{|z|}{|z| * |3+j|}[/mm] = [mm]\frac{|z|}{|2+4j|}[/mm]

>

> <=> [mm]\frac{|2+4j|}{|3+j|}[/mm] = [mm]\frac{|z|^{2}}{|z|}[/mm]

>

> <=> [mm]\frac{\wurzel{20}}{\wurzel{10}}[/mm] = |z|

>

> <=> |z| = [mm]\wurzel{2}[/mm]

>

> Nun: Um auf die Lösung zu kommen, muss ja | |z| | = |z|
> gelten. Ist dies so, da |z| ja bereits die positive Länge
> des Zeigers einer komplexen Zahl ist und ein weiterer
> Betrag davon somit nichts verändert?

Das kansnt du dir doch leicht selbst beantworten:

Mit [mm]z=x+iy[/mm] ist [mm]|\red{|z|}|=|\underbrace{\red{\sqrt{x^2+y^2}}}_{=w}|[/mm]

Nun ist w reell, bzw. [mm]w=\alpha+\beta i[/mm] mit [mm]\alpha=\sqrt{x^2+y^2}[/mm] und [mm]\beta=0[/mm]

Also [mm]||z||=|w|=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}=\sqrt{(\sqrt{x^2+y^2})^2+0^2}=\sqrt{x^2+y^2}=|z|[/mm]

>

> Gruß X3nion

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                                
Bezug
Komplexe Gleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:32 Di 27.10.2015
Autor: X3nion

Hallo schachuzipus,

vielen Dank dir für die ausführliche Erklärung, ich habe es nun verstanden!
Und ja, ich hätte es mir wirklich selbst herleiten können ;)

VG X3nion

Bezug
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