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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Komplexe Gleichung lösen
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Komplexe Gleichung lösen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:56 Mi 28.01.2015
Autor: RudiRabenkopf

Aufgabe
Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung:

[mm] z^{2} [/mm] + z - 1+3j = 0

Hallo,

also eigentlich dachte ich, kann ich solche Aufgaben..hmmm

1. ich denke mit j ist i gemeint, oder ? oder ist j eine andere konstante die ich nicht kenne?


2. löse ich diese aufgabe genauso wie andere quadratische gleichungen auch, NUR, dass mein absolutes glied eine komplexe zahl ist

3. soll ich nun das absolute glied in die e-form umwandeln ?


ich leg mal los...

-1+3j ->   e-form


|z| = [mm] \wurzel{Im^{2} + Re^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{3^{2} + -1^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{10} [/mm]

Phi = [mm] arctan(\bruch{3}{-1}) [/mm] ~ -1,2429n und da der realteil negativ ist liegt der punkt im 2. quadr. also nochmal + Pi ~ 1,8925


e-Form = [mm] \wurzel{10} [/mm] * [mm] e^{i1,8925} [/mm]

nun in die pq formel rein:

[mm] -\bruch{1}{2} [/mm] +- [mm] \wurzel{(\bruch{1}{2}^{2}) - (\wurzel{10} * e^{i1,8925})} [/mm]

ja toll ehm, nun stehe ich vor einem problem


wie rechne ich in meinem casio fx 991DE plus mit i ? ( [mm] e^{i1,8925} [/mm] )

[mm] -\bruch{1}{2} [/mm] +- [mm] \wurzel{\bruch{1}{4} - (\wurzel{10} * e^{i1,8925})} [/mm]


hier komme ich nicht weiter... kann mir wer helfen ?

        
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Komplexe Gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:59 Mi 28.01.2015
Autor: reverend

Hallo Rudi Caput Corvi,

mal anders herum: die Lösungen sind [mm] z_1=-2+i [/mm] und [mm] z_2=1-i. [/mm]
Kannst Du damit einen Weg rekonstruieren?

Bei der Wurzel bist Du noch nicht konsequent genug an die Polarform herangegangen...

Ach, und j statt i schreiben vor allem die E-Techniker, aber auch viele Physiker. Ansonsten ist das in der Tat das gleiche.

Grüße
reverend

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Komplexe Gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:26 Mi 28.01.2015
Autor: RudiRabenkopf

danke erstmal,,,,ehm nein , wie soll ich da einen weg rekunstruieren ?!?

und wie meinst du das, ich bin  da nicht konsequent genug an die polarform ran gegangen ?

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Komplexe Gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:23 Mi 28.01.2015
Autor: reverend

Hallo nochmal,

> danke erstmal,,,,ehm nein , wie soll ich da einen weg
> rekunstruieren ?!?

Naja, hinterher ist man ja meist schlauer. Geh doch mal rückwärts vor. Welche Schritte sind umkehrbar?

> und wie meinst du das, ich bin  da nicht konsequent genug
> an die polarform ran gegangen ?

Unter der Wurzel sollte nur ein Ausdruck des Typs [mm] e^c [/mm] stehen. Dazu musst Du die Umrechnung in die Polarform später ansetzen, denn zum Addieren ist die Form kaum geeignet.

Grüße
reverend

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Komplexe Gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:31 Do 29.01.2015
Autor: RudiRabenkopf

ich verstehe zwar oft nur bahnhof, aber ich versuch mal das umzusetzen, was du mit "unter der wurzel soll NUR [mm] e^x [/mm] stehen...

also soll ich wahrscheinlich erstmal das absolute glied in der kartesischen form lassen und ERST addieren.....danach in e form umwandeln und dann die wurzel ziehen ?


ich geh nochmal zurück:

$ [mm] z^{2} [/mm] $ + z - 1+3j = 0 ist die aufgabe....


[mm] -\bruch{1}{2} [/mm] +-  [mm] \wurzel{(\bruch{1}{2}^2)- (- 1+3j)} [/mm] -> [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] +- [mm] \wurzel{\bruch{1}{4} + 1- 3j} [/mm] -> [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] +-  [mm] \wurzel{\bruch{5}{4} - 3j} [/mm]


jetzt stehe ich wieder vor dem problem, dass ich nicht weiß, wie ich die wurzel aus der komplexen zahl ziehen soll....

kann ich dafür die moivre formel nehmen ? ODER .... ich muss doch einfach nur [mm] (\bruch{5}{4} [/mm] - [mm] 3j)^2 [/mm] ...quadrieren und öse somit die wurzel auf ?!?

für die moivre formel muss ich ja erst wieder umformen, ist es da nicht einfacher zu rechnen:

[mm] (\bruch{5}{4} [/mm] - 3j) * [mm] (\bruch{5}{4} [/mm] - 3j) = [mm] \bruch{25}{16} [/mm] - [mm] \bruch{15}{4}i [/mm] - [mm] \bruch{15}{4}i +9i^2 [/mm] = [mm] -\bruch{119}{16} -\bruch{15}{2}i [/mm] = -7,4375 - 7,5i

und nun:

z1= [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] + -7,4375 - 7,5i = -7,9375 -7,5i

z2 = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] - -7,4375 - 7,5i = 6,9375 -7,5i


vllt. habe ich ja glück und es ist so richtig ?!?!?

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Komplexe Gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:47 Do 29.01.2015
Autor: fred97

Liest Du, was man Dir schreibt ? Offenbar nicht ...

https://matheraum.de/read?i=1050360

FRED

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Komplexe Gleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:27 Do 29.01.2015
Autor: Smuji

da bin ich auch überfragt.
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Komplexe Gleichung lösen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:49 Do 29.01.2015
Autor: RudiRabenkopf

Doch lese ich, allerdings habe ich ja auch oben geschrieben, dass ich nur bahnhof verstehe...

ich habe gemerkt, dass ich da irgendeinen mist geschrieben habe...allerdings verstehe ich deine formel nicht....


es wäre nett wenn du sie mir mal ein wenig verdeutlichen könntest...



w=u+iv (u,v $ [mm] \in \IR) [/mm] $  und $ [mm] w^2=\bruch{5}{4}-3i [/mm] $


Das liefert $ [mm] u^2-v^2= \bruch{5}{4} [/mm] $  und 2uv=-3.

w=u+iv beudetet ? die wurzel w = Re + Im ?!?


[mm] w^2=\bruch{5}{4}-3i [/mm]   das verstehe ich schon eher...die wurzel zum quadrat ist das gleiche wie das was derzeit unter meiner wurzel steht...bzw... wurzel quadrieren hebt sie einfach auf...

und dann ?!?....bahnhof....


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Komplexe Gleichung lösen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Sa 31.01.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Komplexe Gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:28 Do 29.01.2015
Autor: fred97

Die Wurzeln aus

[mm] \bruch{1}{4}-(-1+3i)=\bruch{5}{4}-3i [/mm]

berechne am besten über den Ansatz

w=u+iv (u,v [mm] \in \IR) [/mm]  und [mm] w^2=\bruch{5}{4}-3i [/mm]


Das liefert [mm] u^2-v^2= \bruch{5}{4} [/mm]  und 2uv=-3.

FRED

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Komplexe Gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Do 29.01.2015
Autor: Leopold_Gast

Aus [mm]z^2 + z - 1 + 3 \operatorname{i} = 0[/mm] bekommt man mit der Lösungsformel sofort [mm]z = \frac{-1 \pm \sqrt{5 - 12 \operatorname{i}}}{2}[/mm] .

Nun braucht man die beiden Lösungen der Gleichung [mm]\gamma^2 = 5 - 12 \operatorname{i}[/mm]. Setzt man [mm]\gamma = a + \operatorname{i}b[/mm] mit [mm]a,b \in \mathbb{R}[/mm], so erhält man durch Vergleich von Real- und Imaginärteil das Gleichungssystem

[mm]a^2 - b^2 = 5 \ \ \wedge \ \ ab = -6[/mm]

Daß es ganzzahlige Lösungen [mm]a,b[/mm] besitzt, ist nicht selbstverständlich. Aber unter der Hypothese, daß ganzzahlige Lösungen existieren, kann man die Möglichkeiten schnell einschränken. Wegen [mm]ab = -6[/mm] kommen nur [mm]\{ a,b \} = \{ 1,-6 \}[/mm] oder [mm]\{ a,b \} = \{ -1,6 \}[/mm] oder [mm]\{ a,b \} = \{ 2,-3 \}[/mm] oder [mm]\{ a,b \} = \{ -2,3 \}[/mm] in Frage. Geht man sämtliche Möglichkeiten durch, findet man [mm]a = 3, \, b=-2[/mm] oder [mm]a=-3, \, b=2[/mm] als Lösungen. Daher gilt:

[mm]z = \frac{-1 \pm \sqrt{5 - 12 \operatorname{i}}}{2} = \frac{-1 \pm \left( 3 - 2 \operatorname{i} \right)}{2}[/mm]

Das führt zu den beiden Lösungen [mm]z = 1 - \operatorname{i}[/mm] oder [mm]z = -2 + \operatorname{i}[/mm].

Zu Polarformen und Ähnlichem würde ich erst bei komplizierteren Zahlen greifen oder wenn keine ganzzahligen Lösungen existieren.

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Komplexe Gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:54 So 01.02.2015
Autor: RudiRabenkopf

Aus $ [mm] z^2 [/mm] + z - 1 + 3 [mm] \operatorname{i} [/mm] = 0 $ bekommt man mit der Lösungsformel sofort $ z = [mm] \frac{-1 \pm \sqrt{5 - 12 \operatorname{i}}}{2} [/mm] $



Welche Lösungsformel ?


Wie ziehe ich denn aus $ [mm] \bruch{5}{4}-3i [/mm] $  die wurzel ? nimmt man da moivre ?


gruß rudi



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Komplexe Gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 So 01.02.2015
Autor: leduart

Hallo
Lösungsformel : quadratische Ergänzung, was zur sog pq Formel führt, wie im Reellen. Für die Wurzel Moivre  ist richtig
Gruß leduart

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Komplexe Gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:45 Mo 09.02.2015
Autor: RudiRabenkopf

[mm] \bruch{5}{4}-3i [/mm]



kann nicht nicht einfach folgendes machen:


[mm] \wurzel{\bruch{5}{4}-3i} [/mm] = [mm] (\bruch{5}{4}-3i)^{\bruch{1}{2}} [/mm]           (klammer auflösen)

[mm] =\bruch{5}{8} [/mm] - [mm] \bruch{15}{8}i -\bruch{3}{2}i [/mm]


= [mm] \bruch{5}{8} [/mm] - [mm] \bruch{27}{8}i [/mm]

= [mm] \bruch{5}{8} [/mm] - [mm] 3\bruch{3}{8}i [/mm]


gruß rudi

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Komplexe Gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:03 Mo 09.02.2015
Autor: fred97


> [mm]\bruch{5}{4}-3i[/mm]
>  
>
>
> kann nicht nicht einfach folgendes machen:
>  
>
> [mm]\wurzel{\bruch{5}{4}-3i}[/mm] = [mm](\bruch{5}{4}-3i)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>           (klammer auflösen)
>  
> [mm]=\bruch{5}{8}[/mm] - [mm]\bruch{15}{8}i -\bruch{3}{2}i[/mm]

Kannst Du mir mal Schritt für Schritt, sozusagen für Dummies erklären, wie Du dahin gekommen bist ?

Ich ahne etwas, aber wenn Du das wirklich so "gemacht  " hast, wie ich vermute, dann .....

>  
>
> = [mm]\bruch{5}{8}[/mm] - [mm]\bruch{27}{8}i[/mm]

Ist denn  $ [mm] (\bruch{5}{8} [/mm] - [mm] \bruch{27}{8}i)^2= \bruch{5}{4}-3i [/mm] $  ????




>  
> = [mm]\bruch{5}{8}[/mm] - [mm]3\bruch{3}{8}i[/mm]

Mit  [mm]3\bruch{3}{8}[/mm] meinst Du sicher  [mm]3+\bruch{3}{8}[/mm]

FRED

>  
>
> gruß rudi


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Komplexe Gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:29 Mo 09.02.2015
Autor: RudiRabenkopf

sorry, ok ich erkläre:

$ [mm] \wurzel{\bruch{5}{4}-3i} [/mm] $ = $ [mm] (\bruch{5}{4}-3i)^{\bruch{1}{2}} [/mm] $


mit klammer lösen habe ich es ähnlich gemacht wie bei einem binom nur statt [mm] a^2 [/mm]  habe ich ...oh, ich glaube ich weiß was ich falsch gemachth abe, warte ich probiere es nochmal




[mm] \bruch{5}{4}^{0.5} [/mm] + [mm] (0,5*\bruch{5}{4}*-3i) -3^{0.5} [/mm]



[mm] \bruch{25}{16} -\bruch{15}{8}i [/mm] -1,7321i = [mm] \bruch{25}{16} [/mm] -3,6071i


irgendwie habe ich mich jetzt selbst verwirrt


wie löse ich denn diese klammer auf ?

[mm] a^{\bruch{1}{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*a*b [/mm] + [mm] b^{\bruch{1}{2}} [/mm]  ????

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Bezug
Komplexe Gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:52 Mo 09.02.2015
Autor: fred97


> sorry, ok ich erkläre:
>  
> [mm]\wurzel{\bruch{5}{4}-3i}[/mm] = [mm](\bruch{5}{4}-3i)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
>
> mit klammer lösen habe ich es ähnlich gemacht wie bei
> einem binom nur statt [mm]a^2[/mm]  habe ich ...oh, ich glaube ich
> weiß was ich falsch gemachth abe, warte ich probiere es
> nochmal
>  
>
>
>
> [mm]\bruch{5}{4}^{0.5}[/mm] + [mm](0,5*\bruch{5}{4}*-3i) -3^{0.5}[/mm]
>  
>
>
> [mm]\bruch{25}{16} -\bruch{15}{8}i[/mm] -1,7321i = [mm]\bruch{25}{16}[/mm]
> -3,6071i
>  
>
> irgendwie habe ich mich jetzt selbst verwirrt
>  
>
> wie löse ich denn diese klammer auf ?
>  
> [mm]a^{\bruch{1}{2}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}*a*b[/mm] + [mm]b^{\bruch{1}{2}}[/mm]  
> ????


Ich habs geahnt ..., und schaue in einen Abgrund ... !

Obiges ist nicht Dein Ernst, oder ?

Mit a=9 und b=4, wäre nach der "Rabenkopfmathematik"

[mm] $\wurzel{5}=-13$ [/mm]

FRED

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Komplexe Gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:17 Mo 09.02.2015
Autor: RudiRabenkopf

dann hilf mir bitte auf die sprünge,,,,OHNE rabenkopfmathematik

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Komplexe Gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 Mo 09.02.2015
Autor: fred97


> dann hilf mir bitte auf die sprünge,,,,OHNE
> rabenkopfmathematik

Hab ich das hier

https://matheraum.de/read?i=1050360

nicht schon getan ?

FRED


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Komplexe Gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:13 Mo 09.02.2015
Autor: Thomas_Aut

Hallo,

> dann hilf mir bitte auf die sprünge,,,,OHNE
> rabenkopfmathematik

Ohne alles gelesen zu haben :

1) quadratische Ergänzung
2) Wie sieht dann denn z=... aus? (Tipp: Lösungsformel)

LG Thomas

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