Körpererweiterung Dimension < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:13 Mi 07.12.2016 | | Autor: | MarcHe |
| Aufgabe | | Sei [mm] $\IK$ [/mm] ein Körper mit [mm] $char(\IK) \not= [/mm] 2$. Sei [mm] $\IL [/mm] : [mm] \IK$ [/mm] eine Körpererweiterung mit $a [mm] \in \IL$, [/mm] $a [mm] \notin \IK$ [/mm] und [mm] $a^2 \in \IK$. [/mm] Dann folgt [mm] $[\IK(a):\IK]=2$. [/mm] |
Hallo,
mein Idee ist hier leider lediglich, dass ich vielleicht über die einfache Körpererweiterung [mm] $\IK(a):\IK$ [/mm] mit [mm] $\IK$-Vektorraumbasis [/mm] von [mm] $\IK(a)$ [/mm] angehe. Denn dann müsste ja jedes Element aus [mm] $\IK(a)$ [/mm] die Form [mm] $a'=a*\alpha+\beta$ [/mm] haben. Wie kann ich jetzt hier die Information einfließen lassen, dass [mm] $a^2 \in \IK$ [/mm] und $a [mm] \notin \IK$? [/mm] Mit der Vorraussetzung der Charaktertisk ungleich 2, weiß ich, dass wenn ich 2 mal irgendwas malnehme es ungleich 0 ergibt. Könnte ich vielleicht hier auf eine quadratische Gleichung kommen, die ich dann aufgrund der Charakteristikeigenschaft überhaupt erst lösen kann?
Vielen Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:34 Mi 07.12.2016 | | Autor: | hippias |
Dann mache es so: Zeige, dass die Menge [mm] $F:=\{\alpha+a\beta|\alpha,\beta\in K\}$ [/mm] ein Körper ist; anschliessend folgerst Du, dass dann $F= K(a)$ gilt (was ziemlich einfach ist).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mi 07.12.2016 | | Autor: | MarcHe |
Hallo,
ich habe folgenden Vorschlag:
Sei $b [mm] \in \IL \backslash \IK$ [/mm] und [mm] $[\IL [/mm] : [mm] \IK]=2$, [/mm] sodass $(1,b)$ eine Basis zu [mm] $\IL$ [/mm] ist. Sei [mm] $b^2=bc+d$ [/mm] mit $c,d [mm] \in \IK$. [/mm] Da [mm] $char(\IK) \not= [/mm] 2$ folgt:
[mm] $b^2-bc-d=(b-c/2)^2+(b^2/4+d)=0$
[/mm]
Sei $a=b-c/2$ und [mm] $d=c^2/4+d$, [/mm] dann gilt $a [mm] \in \IL$ [/mm] und [mm] $a^2 \in \IK$. [/mm] Da außerdem $b [mm] \in \IK(a)$ [/mm] folgt [mm] $\IL [/mm] = [mm] \IK(a)$.
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Mi 07.12.2016 | | Autor: | hippias |
Damit hast Du folgendes gezeigt: Ist $L$ eine Körpererweiterung von $K$ mit [mm] $\dim_{K}(L)=2$, [/mm] so existiert ein [mm] $a\in [/mm] L$ mit $L= K(a)$ und [mm] $a^{2}\in [/mm] K$.
Du sollst aber eher die Umkehrung dieser Aussage zeigen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Do 08.12.2016 | | Autor: | MarcHe |
Ok,
basierend auf deinem Vorschlag noch eine Frage: Ich zeige, dass [mm] $\IL$ [/mm] ein Körper ist und komme dann eventuell über Teilmengenbeziehung zur Gleichheit von [mm] $\IL=\IK(a)$. [/mm] Dann würde ja auch unmittelbar folgen [mm] $[\IK(a) [/mm] : [mm] \IK]=2$ [/mm] richtig?
Wie zeige ich aber, dass [mm] $a^2 \in \IK$. [/mm] So: [mm] $a^2=\alpha [/mm] * a + [mm] \beta [/mm] = [mm] a^2 [/mm] - [mm] \alpha [/mm] * a - [mm] \beta [/mm] $, also quasi wie oben?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 Do 08.12.2016 | | Autor: | hippias |
Hast Du Dir Aufgabenstellung durchgelesen? Wo steht da, oder wo habe ich es gesagt, dass Du zeigen sollst, dass $L$ ein Körper ist? Wo steht, oder wo habe ich es gesagt, dass $L= K(a)$ zu zeigen wäre?
Ich bin verwirrt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:09 Fr 09.12.2016 | | Autor: | MarcHe |
Sorry, ich meinte [mm] $\IF$, [/mm] weil ja [mm] $\IL$ [/mm] schon ein Körper ist. Kann ich über die Basis $(1,a)$ zeigen, dass [mm] $\IF=\IK(a)$?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:07 Fr 09.12.2016 | | Autor: | hippias |
> Sorry, ich meinte [mm]\IF[/mm], weil ja [mm]\IL[/mm] schon ein Körper ist.
Aha. Hätte ich auch vermuten können.
> Kann ich über die Basis [mm](1,a)[/mm] zeigen, dass [mm]\IF=\IK(a)[/mm]?
Keine Ahnung. Mach' mal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Fr 09.12.2016 | | Autor: | hippias |
> Ok,
>
> basierend auf deinem Vorschlag noch eine Frage: Ich zeige,
> dass [mm]\IL[/mm] ein Körper ist und komme dann eventuell über
> Teilmengenbeziehung zur Gleichheit von [mm]\IL=\IK(a)[/mm]. Dann
> würde ja auch unmittelbar folgen [mm][\IK(a) : \IK]=2[/mm]
> richtig?
>
> Wie zeige ich aber, dass [mm]a^2 \in \IK[/mm].
Da habe ich gute Nachrichten: [mm] $a^{2}\in [/mm] K$ ist vorausgesetzt!
> So: [mm]a^2=\alpha * a + \beta = a^2 - \alpha * a - \beta [/mm],
> also quasi wie oben?
Nein, quasi mit der Voraussetzung.
>
>
> Viele Grüße,
> Marc
Noch einmal:
Basierend auf Deiner ersten Mitteilung hatte ich vorgeschlagen, dass Du zeigst:
1. $F:= [mm] \{\alpha+ \beta a|\alpha,\beta\in K\}$ [/mm] ist ein Teilkörper von $L$.
2. $F= K(a)$.
Da offensichtlich $F:K=2$ ist, gilt dann $K(a):K=2$.
zu 1. Rechne die üblichen Kriterien nach.
zu 2. Nach Definition ist $K(a)$ der kleinste Teilkörper, der $K$ und $a$ enthält. Da $K$ und $a$ in $F$ enthalten sind, ist [mm] $\ldots\subseteq \ldots$.
[/mm]
Die Gleichheit würde ich mit Hilfe der Dimension zeigen: $F:K=2$ wissen wir ja schon.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:12 Fr 09.12.2016 | | Autor: | MarcHe |
Ok, vielen Dank :)
Kurze Frage: Welche Auswirkung hat die Vorraussetzung [mm] $a^2 \in \IK$?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 So 11.12.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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