Kartenpaket < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Fr 20.03.2015 | | Autor: | Kosamui |
| Aufgabe | | En Kartenpaket enthält 16 Spielkarten, von denen vier Herzkarten sind. jeder von den drei Spielern erhällt zufällig vier Karten zugeteilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass jeder mindestens eine Herzkarte erhält. |
Hallo,
also meine Idee war die Wahrscheinlichkeit auszurechnen indem ich die Gegenwahrscheinlichkeit berechne und die dann von 1 abziehe.
Für die Gegenwahrscheinlichkeit wollte ich die Inklusion - Exklusion Formel benutzen. Als erstes wollte ich mir die Wahrscheinlichkeit von [mm] P(A_{1}) [/mm] berechnen ( Also die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Spieler keine Herzkarte kriegt).
Da dachte ich mir es ist 12*11*10*9 /16*15*14*13. dann ist [mm] P(A_{1}) +P(A_{2})+ P(A_{3})= [/mm] 12*11*10*9*12!*3 / 16!
Wie mache ich es denn für [mm] P(A_{1} \cap A_{2}) [/mm] ?
Kann mir das erklären wie der durchschnitt aussieht?
Liebe Grüße kosamui :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Sa 21.03.2015 | | Autor: | luis52 |
Moin, ich versuche mal mein Glueck.
Es gibt [mm] $|\Omega|=\binom{16}{4,4,4,4}$ [/mm] Moeglichkeiten der Aufteilung aller Karten. Auf wieviel Weisen kann das Ereignis Jeder der Spieler erhaelt mindestens eine Herzkarte auftreten?
Es gibt [mm] $4\cdot3!$ [/mm] Moeglichkeiten, dass drei von den Herzkarten gezogen werden und diese auf die drei Spieler verteilt werden. Die vierte Herzkarte kann dann noch auf drei Weisen auf die drei Spieler verteilt werden. (Bedenke: Genau ein Spieler hat zwei Herzkarten.) Also gibt es [mm] $4\cdot3!\cdot3=72$ [/mm] Moeglichkeiten der Aufteilung der 4 Herzkarten auf die drei Spieler. Die restlichen zwoelf herzlosen Karten koennen dann noch auf [mm] $\binom{12}{3,3,2,4}$ [/mm] Weisen verteilt werden. Ich errechne so die gesuchte Wsk mit $0.3165$.
P.S. Ich sehe gerade, dass das die Loesung fuer den Fall ist, dass alle Herzkarten auf die Spieler verteilt werden. Jetzt solltest du dir noch den Fall selbst ueberlegen, dass jeder Spieler *genau* eine Herzkarte erhaelt ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:08 So 22.03.2015 | | Autor: | Kosamui |
Danke für deine Antwort. Sorry, aber ich habe den Ausdruck $ [mm] |\Omega|=\binom{16}{4,4,4,4} [/mm] $ in der Form noch nie gesehen, also das unten Beistriche stehen?
Kannst du mir das noch kurz erklären? Dann probiere ich gleich den nächsten Fall :)
Danke dir :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 So 22.03.2015 | | Autor: | luis52 |
Moin, [mm] $\binom{n}{n_1,n_2,\ldots,n_k}=\frac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdot\ldots\cdot n_k!}$ [/mm] ist der Multinomialkoeffizient. Es ist die Anzahl der Moeglichkeiten, $n$ Dinge auf $k$ Kaesten zu verteilen mit jeweils einem Fassungsvermoegen von [mm] $n_1, n_2,\ldots,n_k$. [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 So 22.03.2015 | | Autor: | Kosamui |
"Es gibt $ [mm] 4\cdot3! [/mm] $ Moeglichkeiten, dass drei von den Herzkarten gezogen werden und diese auf die drei Spieler verteilt werden."
Sorry, aber mir ist nicht ganz klar wieso. Wieso denn der 4er?
Lg!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 So 22.03.2015 | | Autor: | luis52 |
> Sorry, aber mir ist nicht ganz klar wieso. Wieso denn der
> 4er?
[mm] $4=\binom{4}{3}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 So 22.03.2015 | | Autor: | Kosamui |
Okay danke dir, dann ist mir der erste Fall klar.
Zum 2. Fall, also dass jeder Spieler genau eine Herzkarte erhält:
Es gibt ja trotzdem genau wieder 4*3! Möglichkeiten, dass drei von den Herzkarten gezogen werden und diese auf die drei Spieler verteilt werden.
Die vierte Herzkarte soll dann einfach zu den herzlosen gehören und es gibt dann noch $ [mm] \binom{13}{3,3,3,4} [/mm] $ Möglichekiten, diese zu verteilen.
Stimmt das so oder habe ich es mir zu leicht gemacht?
LG UND DANKE!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 So 22.03.2015 | | Autor: | luis52 |
>
> Stimmt das so oder habe ich es mir zu leicht gemacht?
Sieht gut aus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 So 22.03.2015 | | Autor: | Kosamui |
Ok super vielen, vielen Dank !! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 So 22.03.2015 | | Autor: | rmix22 |
>
> >
> > Stimmt das so oder habe ich es mir zu leicht gemacht?
>
>
> Sieht gut aus.
>
Leider nicht! Es ist falsch. Siehe meine Antwort.
Gruß RMix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 So 22.03.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Okay danke dir, dann ist mir der erste Fall klar.
>
> Zum 2. Fall, also dass jeder Spieler genau eine Herzkarte
> erhält:
> Es gibt ja trotzdem genau wieder 4*3! Möglichkeiten, dass
> drei von den Herzkarten gezogen werden und diese auf die
> drei Spieler verteilt werden.
> Die vierte Herzkarte soll dann einfach zu den herzlosen
> gehören und es gibt dann noch [mm]\binom{13}{3,3,3,4}[/mm]
> Möglichekiten, diese zu verteilen.
>
> Stimmt das so oder habe ich es mir zu leicht gemacht?
Stimmt leider nicht!
Du betrachtest ja jetzt den Fall, dass jeder genau 1 Herzkarte bekommt. Nachdem du die ersten drei Herzkarten gewählt und verteilt hast, darfst du die vierte Herzkarte ja nicht mehr austeilen.
Also gibts nur noch [mm]\binom{12}{3,3,3,3}[/mm] Möglichkeiten.
Außerdem hat sich Luis52 beim Abzählen der Möglichkeiten, wenn alle vier Herzkarten ausgeteilt werden, geirrt. Er wählt auf 4 Arten drei von den Herzkarten aus, verteilt sie auf 3! mögliche Arten auf die drei Spieler und verteilt die verbleibende Herzkerte auf 3 Arten. Damit zählt er die Hand, welche die zwei Herzkarten bekommt, doppelt. Sein Ergebnis von 31,65% ist also noch zu halbieren.
Die korrekten Wahrscheinlichkeiten sind:
$p(1\ x\ 2\ Herz\ \ und\ \ 2\ x\ 1\ [mm] Herz)=\br{72}{455}\approx15,82\ \%$
[/mm]
$p(3\ x\ 1\ [mm] Herz)=\br{64}{455}\approx14,07\ \%$
[/mm]
und somit die gesuchte Wahrscheinlichkeit
$p(jeder\ mind.\ 1\ [mm] Herz)=\br{136}{455}\approx29,89\%$
[/mm]
Gruß RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 So 22.03.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Moin, ich versuche mal mein Glueck.
>
> Es gibt [mm]|\Omega|=\binom{16}{4,4,4,4}[/mm] Moeglichkeiten der
> Aufteilung aller Karten. Auf wieviel Weisen kann das
> Ereignis Jeder der Spieler erhaelt mindestens eine
> Herzkarte auftreten?
>
> Es gibt [mm]4\cdot3![/mm] Moeglichkeiten, dass drei von den
> Herzkarten gezogen werden und diese auf die drei Spieler
> verteilt werden. Die vierte Herzkarte kann dann noch auf
> drei Weisen auf die drei Spieler verteilt werden.
> (Bedenke: Genau ein Spieler hat zwei Herzkarten.) Also
> gibt es [mm]4\cdot3!\cdot3=72[/mm] Moeglichkeiten der Aufteilung der
> 4 Herzkarten auf die drei Spieler.
Dabei zähltst du aber jede Hand doppelt. Der Spieler der die beiden Herz-Karten erhält, kann seine Hand auf zwei verschiedene Arten erhalten.
Dein Ergebnis ist also noch zu halbieren!
Siehe auch meine Antwort an anderer Stelle in diesem Thread.
>Die restlichen zwoelf
> herzlosen Karten koennen dann noch auf [mm]\binom{12}{3,3,2,4}[/mm]
> Weisen verteilt werden. Ich errechne so die gesuchte Wsk
> mit [mm]0.3165[/mm].
>
> P.S. Ich sehe gerade, dass das die Loesung fuer den Fall
> ist, dass alle Herzkarten auf die Spieler verteilt werden.
Ja, wenn man es noch halbiert. Also nur 15,82%.
Gruß RMix
> Jetzt solltest du dir noch den Fall selbst ueberlegen, dass
> jeder Spieler *genau* eine Herzkarte erhaelt ...
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 So 22.03.2015 | | Autor: | Kosamui |
Danke dir für deine Korrektur. Zuerst war die Wahrscheinlichkeit auch sehr hoch, was mich gewundert hat. Allerdings verstehe ich das Halbieren noch nicht so wirklich. Wieso zählt man eine Hand doppelt? Du hast es zwar ausführlich geschrieben aber ich verstehe es noch nicht so recht .. :(((
Liebe Grüße und danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 So 22.03.2015 | | Autor: | luis52 |
> Wieso zählt man eine Hand doppelt? Du hast es
> zwar ausführlich geschrieben aber ich verstehe es noch
> nicht so recht .. :(((
Angenommen, man waehlt (1,2,3) und 4 bleibt draussen. Das fuehrt zu (14,2,3) oder (1,24,3) oder (1,2,34). Beispielsweise (14,2,3) erhaelt man aber auch, wenn (2,3,4) und 1 draussen gewaehlt wird. Das fuehrt zu den Verteilungen (12,3,4) oder (2,13,4) oder (2,3,14) ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 So 22.03.2015 | | Autor: | Kosamui |
Aja ok danke jetzt habe ich es verstanden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 So 22.03.2015 | | Autor: | luis52 |
> > Moin, ich versuche mal mein Glueck.
> >
> > Es gibt [mm]|\Omega|=\binom{16}{4,4,4,4}[/mm] Moeglichkeiten der
> > Aufteilung aller Karten. Auf wieviel Weisen kann das
> > Ereignis Jeder der Spieler erhaelt mindestens eine
> > Herzkarte auftreten?
> >
> > Es gibt [mm]4\cdot3![/mm] Moeglichkeiten, dass drei von den
> > Herzkarten gezogen werden und diese auf die drei Spieler
> > verteilt werden. Die vierte Herzkarte kann dann noch auf
> > drei Weisen auf die drei Spieler verteilt werden.
> > (Bedenke: Genau ein Spieler hat zwei Herzkarten.) Also
> > gibt es [mm]4\cdot3!\cdot3=72[/mm] Moeglichkeiten der Aufteilung der
> > 4 Herzkarten auf die drei Spieler.
> Dabei zähltst du aber jede Hand doppelt. Der Spieler der
> die beiden Herz-Karten erhält, kann seine Hand auf zwei
> verschiedene Arten erhalten.
> Dein Ergebnis ist also noch zu halbieren!
> Siehe auch meine Antwort an anderer Stelle in diesem
> Thread.
>
> >Die restlichen zwoelf
> > herzlosen Karten koennen dann noch auf [mm]\binom{12}{3,3,2,4}[/mm]
> > Weisen verteilt werden. Ich errechne so die gesuchte Wsk
> > mit [mm]0.3165[/mm].
> >
> > P.S. Ich sehe gerade, dass das die Loesung fuer den Fall
> > ist, dass alle Herzkarten auf die Spieler verteilt werden.
> Ja, wenn man es noch halbiert. Also nur 15,82%.
Danke fuer die Hinweise. Ich hatte gehofft, dass sich noch jemand meiner Versuche annimmt.
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