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Isolierte Singularität bestimm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:45 Mo 19.06.2017
Autor: Jellal

Guten Abend,

ich weiß nicht so richtig, wie ich vorgehen muss:

Ich soll die isolierten Singularitäten und deren Art von [mm] i/(z^{4}-1) [/mm] bestimmen.

Nun sind die Singularitäten gerade die 4-ten Einheitswurzeln, alo 1, -1, i und -1.

Aber wie bestimme ich nun die Art? Bei Musterbeispielen mit dem Sin wurde einfach die bekannte Lauren-Entwicklung hergenommen. Aber bei Funktionen dieser Sorte... muss ich die Laurent-Reihe nun erst berechnen, oder geht das auch einfacher? Die Art hängt ja von den Laurent-Koeffizienten ab.


Gruß

Jellal

        
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Isolierte Singularität bestimm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:29 Mo 19.06.2017
Autor: leduart

Hallo
[mm] z^4-1=(z^2-1)*(z^2+1) [/mm] weiter zerlegen und Partialbruchzerlegung.
Gruß leduart

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Isolierte Singularität bestimm: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:43 Mo 19.06.2017
Autor: Jellal

Hallo Leduart,

Aber damit bestimmt man ja nicht die Art.
Ich hatte die Aufgabe jetzt mit dem Satz gelöst, dass die Funktion f eine Polstelle der Ordnung m hat, wenn die Funktion 1/f eine Nullstelle der Ordnung m hat.

Es sind also alles Polstellen erster Ordnung.


Bei der nächsten Aufgabe: f(z)=(1-cos(z))/sin(z).
Dort gibt es Singularitäten [mm] z_{n}=n\pi [/mm]
Für ungerade n ergeben sich mit obigem Satz wieder Polstellen erster Ordnung.

Aber was mache ich mit geraden n? Ich sehe, dass der Grenzwert für z-->0 zB. existiert, er ist 0. Und im Netz finde ich einen Satz, dass das dann eine hebbare Singularität ist.

Wir hatten aber nur das Kriterium, dass f in jeder Umgebung der hebbaren Singularität beschränkt bleibt.
Kann ich das auch irgendwie benutzen?

Gruß


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Bezug
Isolierte Singularität bestimm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:15 Di 20.06.2017
Autor: HJKweseleit


> Hallo Leduart,
>  
> Aber damit bestimmt man ja nicht die Art.
> Ich hatte die Aufgabe jetzt mit dem Satz gelöst, dass die
> Funktion f eine Polstelle der Ordnung m hat, wenn die
> Funktion 1/f eine Nullstelle der Ordnung m hat.
>  
> Es sind also alles Polstellen erster Ordnung.
>  
>
> Bei der nächsten Aufgabe: f(z)=(1-cos(z))/sin(z).
>  Dort gibt es Singularitäten [mm]z_{n}=n\pi[/mm]
>  Für ungerade n ergeben sich mit obigem Satz wieder
> Polstellen erster Ordnung.
>  
> Aber was mache ich mit geraden n? Ich sehe, dass der
> Grenzwert für z-->0 zB. existiert, er ist 0. Und im Netz
> finde ich einen Satz, dass das dann eine hebbare
> Singularität ist.
>  

Und eine hebbare Singularität kann keine Polstelle sein. Da die Fkt. [mm] 2-\pi-periodisch [/mm] ist, kommt für alle geraden n dasselbe heraus.

> Wir hatten aber nur das Kriterium, dass f in jeder Umgebung
> der hebbaren Singularität beschränkt bleibt.
>  Kann ich das auch irgendwie benutzen?
>  
> Gruß
>  


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Isolierte Singularität bestimm: fehlerhaftes "Kriterium"
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:14 Di 20.06.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> Wir hatten aber nur das Kriterium, dass f in jeder Umgebung
> der hebbaren Singularität beschränkt bleibt.


Hallo Jellal

So, wie du es hier formulierst, ist das "Kriterium" bestimmt
falsch !  Es müsste doch wohl etwa so lauten:

"Zu jeder Funktion f  (mit den und jenen Voraussetzungen) und
zu jeder ihrer hebbaren Singularitätsstellen [mm] s_i [/mm]  gibt es jeweils
eine Umgebung [mm] U_i [/mm] von [mm] s_i [/mm] , in welcher f beschränkt ist."
"

Vielleicht ist da auch eine Formulierung wie "in jeder genügend
kleinen
Umgebung" - aber eben bestimmt nicht "in jeder Umgebung".

LG  ,    Al-Chwarizmi


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Isolierte Singularität bestimm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:45 Di 20.06.2017
Autor: fred97


> > Wir hatten aber nur das Kriterium, dass f in jeder Umgebung
> > der hebbaren Singularität beschränkt bleibt.
>  
>
> Hallo Jellal
>  
> So, wie du es hier formulierst, ist das "Kriterium"
> bestimmt
>  falsch !  Es müsste doch wohl etwa so lauten:
>  
> "Zu jeder Funktion f  (mit den und jenen Voraussetzungen)
> und
> zu jeder ihrer hebbaren Singularitätsstellen [mm]s_i[/mm]  gibt es
> jeweils
> eine Umgebung [mm]U_i[/mm] von [mm]s_i[/mm] , in welcher f beschränkt ist."
> "
>  
> Vielleicht ist da auch eine Formulierung wie "in jeder
> genügend
> kleinen Umgebung" - aber eben bestimmt nicht "in jeder
> Umgebung".
>  
> LG  ,    Al-Chwarizmi
>    


Hallo Al,

auch so wie Du das oben formuliert hast, ist es nicht richtig.

Sei $ D [mm] \subseteq \IC$ [/mm] offen, [mm] $z_0 \in [/mm] D$ und $f :D [mm] \setminus \{z_0\} \to \IC$ [/mm] holomorph. Dann lautet der Riemannsche Hebbarkeitssatz so:

$f$ hat in [mm] $z_0$ [/mm] eine hebbare Singularität genau dann, wenn es eine punktierte Umgebung [mm] $\{z \in \IC: 0<|z-z_0| < \delta \} \subseteq [/mm] D$ gibt, auf der $f$ beschränkt ist.



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Isolierte Singularität bestimm: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Mi 21.06.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
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Isolierte Singularität bestimm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:51 Di 20.06.2017
Autor: fred97

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Es ist $\frac{i}{(z^{4}-1)}=\frac{i}{(z-i)(z+i)(z-1)(z+1)}$. Nun sieht man, dass $i,-i,1$ und $-1$ isolierte Singularitäten sind.

Ist $z_0 \in \{i,-i,1,-1\}$ so gilt:

$\lim_{z \to z_0}(z-z_0)\frac{i}{(z^{4}-1)$ existiert (in \IC).

Somit ist z_0 ein Pol der Ordnung 1.

Bezug
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