Integration einer Funktion < Real Analysis (Mulitvariable) < Real Analysis < Uni-Calculus < University < Maths <
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(Question) answered  | | Date: | 14:31 Do 19/07/2012 | | Author: | yangwar1 |
| Aufgabe | Wir betrachten die Funktion f:[0,1]x[0,1] [mm] \to \IR, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto \begin{cases} \bruch{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}, & \mbox{für } (x,y) \not= 0 \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=0 \end{cases}
[/mm]
Bestimmen Sie für jedes x [mm] \in [/mm] (0,1] das Integral [mm] \integral_{0}^{1}{f(x,y) dy} [/mm] |
Ich habe Probleme die Aufgabe zu lösen. Es handelt sich ja um eine Funktion einer Veränderlichen, das x ist fest und über das y muss integriert werden.
Wolfram Alpha sagt mir, ich muss eine Partialbruchzerlegung durchführen. Könnte mir die vielleicht noch mal anhand von dem Beispiel erklären?
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Hallo yangwar1,
bitte vor dem Absenden immer die Vorschaufunktion nutzen und schauen, ob alles lesbar ist!
> Wir betrachten die Funktion f:[0,1]x[0,1] [mm]\to \IR,[/mm]
[mm](x,y)[/mm][mm]\mapsto \begin{cases} \bruch{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}, & \mbox{für } (x,y) \not= 0 \\
0, & \mbox{für } (x,y)=0 \end{cases}[/mm]
>
> Bestimmen Sie für jedes x [mm]\in[/mm] (0,1] das Integral
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x,y) dy}[/mm]
>
> Ich habe Probleme die Aufgabe zu lösen. Es handelt sich ja
> um eine Funktion einer Veränderlichen, das x ist fest und
> über das y muss integriert werden.
> Wolfram Alpha sagt mir, ich muss eine Partialbruchzerlegung
> durchführen. Könnte mir die vielleicht noch mal anhand
> von dem Beispiel erklären?
Hier "sieht" man das doch fast direkt:
[mm]\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{2x^2-(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}=\frac{2x^2}{(x^2+y^2)^2}-\frac{1}{x^2+y^2}[/mm]
Rechnerisch kommst du bei der doppelten komplexe NST wohl über den Ansatz [mm]\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{Ax+B}{x^2+y^2}+\frac{Cx^2+Dx+E}{(x^2+y^2)^2}[/mm], dann gleichnamig machen und Koeffizientenvergleich weiter ...
Gruß
schachuzipus
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(Question) answered | | Date: | 15:15 Do 19/07/2012 | | Author: | yangwar1 |
Dann teilt sich das Integral also auf in:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(x^2+y^2)} dx}+\integral_{0}^{1}{\bruch{2x^2}{(x^2+y^2)^2} dx}
[/mm]
Jetzt muss ich dann substituieren. (Ich merke schon, ich muss dazu noch ein paar Grundlagen nacharbeiten). Wie kann man jetzt eine geeignete Substitution finden?
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Hallo yangwar1,
> Dann teilt sich das Integral also auf in:
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(x^2+y^2)} dx}+\integral_{0}^{1}{\bruch{2x^2}{(x^2+y^2)^2} dx}[/mm]
>
In der Aufgabe ist die Integration nach y verlangt:
[mm]\blue{-}\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(x^2+y^2)} d\blue{y}}+\integral_{0}^{1}{\bruch{2x^2}{(x^2+y^2)^2} d\blue{y}}[/mm]
Daneben hat sich noch ein Vorzeichenfehler eingeschlichen.
> Jetzt muss ich dann substituieren. (Ich merke schon, ich
> muss dazu noch ein paar Grundlagen nacharbeiten). Wie kann
> man jetzt eine geeignete Substitution finden?
>
Die Substitution ist so zu wählen,
daß der Integrand möglichst einfach wird.
Gruss
MathePower
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