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Forum "Integration" - Integration/ Normalableitung
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Integration/ Normalableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:03 Fr 26.09.2014
Autor: m0ppel

Aufgabe
Folgendes Integral muss gelöst werden:

[mm]u(x)=\integral_{\Omega}{G(a,x)f(a) da}-\integral_{\partial\Omega}{\bruch{\partial G}{\partial n}(a,x)g(a) da}[/mm]

mit [mm]\Omega=(0,1)[/mm],
[mm]G(x,y)=\begin{cases} (1-y)x, & \mbox{für } 0\le x\le y \\ y(1-x), & \mbox{für } y \le x \le 1\end{cases} [/mm]

Die Funktion [mm]g(a)[/mm] beschreibt das Verhalten auf [mm]\partial\Omega[/mm]. D.h. [mm]g(0)=0[/mm] und [mm]g(1)=1[/mm] ist gegeben.


Hallo liebe Matheraum-Freunde!

Ich habe keine richtige Aufgabenstellung, sondern versuche ein Integral aus meinem Numerik-Skrip nachzuvollziehen.
Der erste Teil des Integrals ist mir klar. Probleme habe ich mit diesem Teil:

[mm]\integral_{\partial\Omega}{\bruch{\partial G}{\partial n}(a,x)g(a) da}[/mm]

Da es sich bei [mm]\bruch{\partial G}{\partial n}(a,x)[/mm] um die Normalableitung handelt, weiß ich [mm]\bruch{\partial G}{\partial n}(a,x)=\grad G*\vec{n}[/mm], wobei [mm]\vec{n}[/mm] senkrecht zu [mm]\partial\Omega[/mm] ist, d.h. bei  [mm]\vec{n}[/mm] handelt es sich um den Einheitsvektor der Flächennormalen.
Wie berechne ich [mm]\vec{n}[/mm]?

Im Tutorium haben wir nun die Lösung bekommen: [mm]\integral_{\partial\Omega}{\bruch{\partial G}{\partial n}(a,x)g(a) da}=G'(1,x)*1=-x[/mm]
Jedoch ist mir überhaupt nicht klar, wie sie auf diese Lösung gekommen sind.

Kann mir hier irgendjemand weiterhelfen?
Vielen Lieben Dank schon mal!!

        
Bezug
Integration/ Normalableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:24 Sa 27.09.2014
Autor: Hans11

Hallo,


> Da es sich bei [mm]\bruch{\partial G}{\partial n}(a,x)[/mm] um die
> Normalableitung handelt, weiß ich [mm]\bruch{\partial G}{\partial n}(a,x)=\grad G*\vec{n}[/mm],
> wobei [mm]\vec{n}[/mm] senkrecht zu [mm]\partial\Omega[/mm] ist, d.h. bei
> [mm]\vec{n}[/mm] handelt es sich um den Einheitsvektor der
> Flächennormalen.

Du hast hier ein grad für Gradient vergessen.


> Wie berechne ich [mm]\vec{n}[/mm]?

>

Die Mannigfaltigkeit [mm]\partial \Omega[/mm] ist hier 0-dimensional, also gibt es kein solches [mm]\vec n[/mm]. Dennoch kannst du die Normalableitung definieren, nämlich als Ableitung von G (bzgl. der ersten Variablen).


> Im Tutorium haben wir nun die Lösung bekommen:
> [mm]\integral_{\partial\Omega}{\bruch{\partial G}{\partial n}(a,x)g(a) da}=G'(1,x)*1=-x[/mm]

>

> Jedoch ist mir überhaupt nicht klar, wie sie auf diese
> Lösung gekommen sind.

Ueberlege dir, über welches Maß du integrierst und beachte g(0)=0.

>

> Kann mir hier irgendjemand weiterhelfen?
> Vielen Lieben Dank schon mal!!

Liebe Grüße
​Hans

Bezug
                
Bezug
Integration/ Normalableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:47 Sa 27.09.2014
Autor: m0ppel

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Ich hab allerdings immer noch eine Frage:


> Die Mannigfaltigkeit [mm]\partial \Omega[/mm] ist hier
> 0-dimensional, also gibt es kein solches [mm]\vec n[/mm]. Dennoch
> kannst du die Normalableitung definieren, nämlich als
> Ableitung von G (bzgl. der ersten Variablen).


Okay, das bedeutet: [mm]\bruch{\partial G}{\partial n}(a,x)=G_{a}(a,x)=\begin{cases} (1-x), & \mbox{für } 0\le a\le x \\ -x, & \mbox{für } x\le a\le 1 \end{cases}[/mm]
Das heißt dann
[mm]\integral_{\partial\Omega}{\bruch{\partial G}{\partial n}(a,x)g(a) da}=\integral_{\partial\Omega}{G_a(a,x)g(a)da}[/mm]
Warum kann ich hier nun einfach sagen, dass:
[mm] \integral_{\partial\Omega}{G_a(a,x)g(a)da}=G_a(1,x)g(1)-G_a(0,x)g(0)[/mm]
Ich meine, wo bleibt denn die Integration? Ich hab so doch einfach nur die Grenzen eingesetzt.


Bezug
                        
Bezug
Integration/ Normalableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:52 Sa 27.09.2014
Autor: steppenhahn

Hallo,

> Vielen Dank für die schnelle Antwort!
>  
> Ich hab allerdings immer noch eine Frage:
>
>
> > Die Mannigfaltigkeit [mm]\partial \Omega[/mm] ist hier
> > 0-dimensional, also gibt es kein solches [mm]\vec n[/mm]. Dennoch
> > kannst du die Normalableitung definieren, nämlich als
> > Ableitung von G (bzgl. der ersten Variablen).
>  
>
> Okay, das bedeutet: [mm]\bruch{\partial G}{\partial n}(a,x)=G_{a}(a,x)=\begin{cases} (1-x), & \mbox{für } 0\le a\le x \\ -x, & \mbox{für } x\le a\le 1 \end{cases}[/mm]


Das ist noch nicht ganz richtig. Du hattest ja schon geschrieben, dass

[mm] $\frac{\partial G}{\partial n}(a,x)) [/mm] = [mm] G_a(a,x) \cdot [/mm] n$

(es wird ja nur nach der ersten Variable integriert).
--> Das $n$ fehlt bei dir noch.

Das Intervall [mm] $\Omega [/mm] = (0,1)$ hat zwei Randpunkte, [mm] $\partial \Omega [/mm] = [mm] \{0,1\}$. [/mm] Der Normaleneinheitsvektor zeigt von der Menge weg. Daher ist $n(0) = -1$ ("nach links") und $n(1) = 1$ ("nach rechts").



> Das heißt dann
>  [mm]\integral_{\partial\Omega}{\bruch{\partial G}{\partial n}(a,x)g(a) da}=\integral_{\partial\Omega {G_a(a,x) \red{n(a)} g(a)da}[/mm]

Ja, mit der roten Korrektur.

> Warum kann ich hier nun einfach sagen, dass:
>  
> [mm]\integral_{\partial\Omega}{G_a(a,x) n(a) g(a)da}=G_a(1,x)g(1)\red{n(1) + n(0)}G_a(0,x)g(0)[/mm]
> Ich meine, wo bleibt denn die Integration? Ich hab so doch
> einfach nur die Grenzen eingesetzt.

(beachte die rote Korrektur!)

Überleg dir mal, worüber hier integriert wird! [mm] $\partial \Omega$ [/mm] enthält doch nur zwei Elemente. Wenn du über eine endliche, nulldimensionale Menge integrierst, habt ihr das vermutlich als bloßes Aufsummieren definiert (sogenannte Integration mit dem Zählmaß).


Viele Grüße,
Stefan

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Integration/ Normalableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:37 So 28.09.2014
Autor: m0ppel

Vielen Lieben Dank! Jetzt hat es endlich bei mir Klick gemacht ;D

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