Integration, Bruch < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Di 18.02.2014 | | Autor: | TorbM |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{} \bruch{x^4+2x+1}{x^4-2x^3+2x^2-2x-1} [/mm] |
Bei Aufgaben mit einer reellen Nullstelle und imaginären hat alles normal funktioniert. Nullstelle raten, pq- Formel, Partialbruchzerlegung, Koeffizientenvergeleich.....usw.
Hier hat der Nenner zwei imaginäre und zwei rationale Nullstellen.
Hab einfach mal Polynomdivision gemacht.
[mm] \bruch{x^4+2x+1}{x^4-2x^3+2x^2-2x-1} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{2x^3 - 2x^2 + 4x + 2}{x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x - 1}
[/mm]
Naja und nu hab ich schon keine Ahnung wie es weiter geht, oder ob man überhaupt Polynomdivision machen muss.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Di 18.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\integral_{}^{} \bruch{x^4+2x+1}{x^4-2x^3+2x^2-2x-1}[/mm]
> Bei
> Aufgaben mit einer reellen Nullstelle und imaginären hat
> alles normal funktioniert. Nullstelle raten, pq- Formel,
> Partialbruchzerlegung, Koeffizientenvergeleich.....usw.
>
> Hier hat der Nenner zwei imaginäre und zwei rationale
> Nullstellen.
> Hab einfach mal Polynomdivision gemacht.
>
> [mm]\bruch{x^4+2x+1}{x^4-2x^3+2x^2-2x-1}[/mm] = 1 + [mm]\bruch{2x^3 - 2x^2 + 4x + 2}{x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x - 1}[/mm]
>
> Naja und nu hab ich schon keine Ahnung wie es weiter geht,
> oder ob man überhaupt Polynomdivision machen muss.
nein, sondern : Partialbruchzerlegung, Koeffizientenvergeleich.....usw.
Wie lauten denn Deine Nullstellen des Nenners ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Di 18.02.2014 | | Autor: | TorbM |
Habe Rechner im Internet benutzt, hab noch nie Aufgaben gerechnet bei denen keine reellen Nullstellen im Nenner sind. Hab auch keine Ahnung wie ich die Nullstellen von "Hand" berechne.
x1 = 0,31313067266395317 + 1,2738733838544676·î
x2 = 0,31313067266395317 - 1,2738733838544676·î
x3 = 1,712984870096597
x4 = -0,33924621542450323
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> [mm]\integral_{}^{} \bruch{x^4+2x+1}{x^4-2x^3+2x^2-2x-1}[/mm]
> Bei
> Aufgaben mit einer reellen Nullstelle und imaginären hat
> alles normal funktioniert. Nullstelle raten, pq- Formel,
> Partialbruchzerlegung, Koeffizientenvergeleich.....usw.
>
> Hier hat der Nenner zwei imaginäre und zwei rationale
> Nullstellen.
> Hab einfach mal Polynomdivision gemacht.
>
> [mm]\bruch{x^4+2x+1}{x^4-2x^3+2x^2-2x-1}[/mm] = 1 + [mm]\bruch{2x^3 - 2x^2 + 4x + 2}{x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x - 1}[/mm]
>
> Naja und nu hab ich schon keine Ahnung wie es weiter geht,
> oder ob man überhaupt Polynomdivision machen muss.
Hallo,
ich habe mal den Nenner Mathematica gefüttert, um zu
sehen, welche Nullstellen er hat.
Angesichts der Ergebnisse denke ich, dass eine exakte
Integration fürchterlich kompliziert werden könnte.
Zuallererst würde ich also mal überprüfen, ob die Aufgabe
korrekt wiedergegeben ist.
Woher stammt die Aufgabe eigentlich ? Und würde eine
numerische Integration (für ein vorgegebenes Integrations-
Intervall) nicht genügen ?
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:19 Di 18.02.2014 | | Autor: | TorbM |
Mathe 1 Klausur (Elektrotechnik Studium) nummerische Integration kommt eigentlich im Mathe 1 Kurs garnicht vor. Verdutzt mich gerade etwas....
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> Mathe 1 Klausur nummerische Integration kommt eigentlich im
> Mathe 1 Kurs garnicht vor. Verdutzt mich gerade etwas....
Falls dies eine Klausuraufgabe sein soll und man dies
exakt integrieren soll, ist der Aufgabenstellung wohl
irgendein schrecklicher Unfall zugestoßen ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Di 18.02.2014 | | Autor: | TorbM |
Hab die Klausur hier liegen, muss wohl mal den Prof fragen. Hat sich also erledigt.
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Hallo TorbM,
wie so häufig war es wohl wieder mal ein schlichter
Vorzeichenfehler. Der Nenner sollte wohl so lauten:
$\ [mm] x^4-2\,x^3+2\,x^2-2\,x\ \blue{+}\ [/mm] 1$
anstatt
$\ [mm] x^4-2\,x^3+2\,x^2-2\,x\ \red{-}\ [/mm] 1$
Dann gibt es sehr schöne und einfache Nullstellen.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Di 18.02.2014 | | Autor: | TorbM |
Ahhh....stimmt hab extra nachgeschaut und trotzdem nicht gesehen das dort ein + steht, statt einem Minus. Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Di 18.02.2014 | | Autor: | TorbM |
Ehm....trotzdem zu der Aufgabe eine Frage.
[mm] \bruch{x^4+2x+1}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}
[/mm]
Polynomdivision: 1 + [mm] \bruch{2x^3-2x^2+4x}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}
[/mm]
Nulstelle x1 = 1
Normalerweise kann man jetzt das Polynom mit Horner Schema verkleinern oder wenn die Potenzen gerade sind mit Subsitution die Nullstellen berechnen. Das scheint hier aber nicht zu funktionieren.
Wie komme ich jetzt an die Nullstellen (+j und -j) von [mm] x^4-2x^3+2x^2-2x+1 [/mm] ?
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Hallo,
Faktorisierungs-Service: 
[mm] x^4-2x^3+2x^2-2x+1
[/mm]
[mm] =x^4-x^3-x^3+x^2+x^2-x-x+1
[/mm]
[mm] =(x-1)*(x^3-x^2+x-1)
[/mm]
[mm] =(x-1)^2*(x^2+1)
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Di 18.02.2014 | | Autor: | TorbM |
Ja, so weit komme ich auch mit Horner Schema.
x1 = 1 Horner Schema bringt mich dann auf [mm] x^3-x^2+x-1 [/mm]
also [mm] (x-1)(x^3-x^2+x-1)
[/mm]
Komme nur immer noch nicht auf die Nullstellen -j und +j weil ich ja durch Probieren eben keine finde um dann nochmal mit Horner Schema zu verkleinern. Komme somit nicht auf eine Zweierpotenz für pq-Formel.
Wie kommt man hier [mm] x^3-x^2+x-1 [/mm] weiter ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Di 18.02.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo Torben,
stell doch bitte Fragen hier auch als Fragen ein und nicht als Mitteilung. So viele Buttons stehen ja dann auch nicht zur Auswahl...
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Di 18.02.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Torb!
> Wie kommt man hier [mm]x^3-x^2+x-1[/mm] weiter ?
Wenn Du Dir Diophant's Antwort genau ansiehst, solltest Du erkennen, dass man diesen Term einer erneuten Polynomdivision durch $(x-1)_$ unterziehen kann.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Di 18.02.2014 | | Autor: | TorbM |
| Aufgabe | [mm] \integral_{}^{} \bruch{x^4+2x+1}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1} [/mm]
Hatte bisher in alle Integralen nur eine Polynomdivision, komme jetzt gerade nicht hinterher. |
Also:
Nennernullstelle x1 = 1
Polynomdivision:
[mm] (x^4 [/mm] + 2x [mm] +1):(x^4-2x^3+2x^2-2x+1) [/mm] = 1 + [mm] \bruch{2x^3-2x^2+4x}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}
[/mm]
Horner Schema:
[mm] x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] + x -1
somit [mm] (x-1)(x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] + x -1)
nochmal Polynomdivision:
[mm] (x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] + x -1):(x-1) = [mm] x^2 [/mm] + 1
x = [mm] \wurzel{-1}
[/mm]
x2/3 = [mm] \pm [/mm] j
x1 = 1 => [mm] \bruch{A}{x-1}
[/mm]
x2/3 = [mm] \pm [/mm] j => [mm] \bruch{Bx + C}{x^3+x^2+x-1}
[/mm]
[mm] \bruch{2x^3-2x^2+4x}{(x-1)(x^3+x^2+x-1)} [/mm] = [mm] \bruch{A(x^3-x^2+x-1)+(Bx + C)(x-1)}{(x-1)(x^3+x^2+x-1)}
[/mm]
[mm] 2x^3-2x^2+4x [/mm] = [mm] A(x^3-x^2+x-1)+(Bx [/mm] + C)(x-1)
Reelle Nullstelle und irgendwelche anderen ausgesuchten Zahlen einsetzen:
x1 = 1
x2 = 0
x3 = 2
Führt nicht zum Erfolg, Koeffizientenvergleich führt zu 4 = 0A. Ich denke mein Ansatz stimmt nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Di 18.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja dein Ansatz kann nichz klappen A((x-1)+( Bx+C) [mm] /(x-1)^2+(Dx+E)(x^2+^)
[/mm]
Gruß leduart
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Moin,
was ich nicht so ganz verstehen kann ist die Tatsache, dass du die gegebenen Hinweise nicht umsetzt. Ich habe dir doch die geeignete Faktorisierung gegeben, aus welcher ja dann klipp und klar der Ansatz für die Partialbruchzerlegung folgt:
[mm] \bruch{2x^3-2x^2+4x}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{(x-1)^2}+\bruch{Cx+D}{x^2+1}
[/mm]
Jetzt geh mal deine Unterlagen durch, um das nachzuvollziehen (insbesondere auch, weshalb man die komplexen Nennernullstellen nicht benötigt), und dann berechne damit das Integral.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:49 Mi 19.02.2014 | | Autor: | TorbM |
Mein Problem ist woher man weiß, das es [mm] (x-1)^2 [/mm] sind.
Polynomdivision
Nullstelle raten x1 = 1 -> (x-1)
Horner Schema -> [mm] (x^3-x^2+x-1)
[/mm]
=> [mm] (x-1)(x^3-x^2+x-1)
[/mm]
nochmal Polynomdivision -> [mm] (x^2+1)
[/mm]
Also nur mit Horner Schema und Polynomdivision bekommt man nicht direkt alle Linearfaktoren raus, die man direkt ablesen kann ? (Kann man bestimmt mit etwas Übung aber ich glaube worauf ich hinaus will kann man verstehen..)
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Hallo,
> Mein Problem ist woher man weiß, das es [mm](x-1)^2[/mm] sind.
>
> Polynomdivision
>
> Nullstelle raten x1 = 1 -> (x-1)
>
> Horner Schema -> [mm](x^3-x^2+x-1)[/mm]
>
> => [mm](x-1)(x^3-x^2+x-1)[/mm]
>
> nochmal Polynomdivision -> [mm](x^2+1)[/mm]
>
> Also nur mit Horner Schema und Polynomdivision bekommt man
> nicht direkt alle Linearfaktoren raus, die man direkt
> ablesen kann ?
> (Kann man bestimmt mit etwas Übung aber ich
> glaube worauf ich hinaus will kann man verstehen..)
Nicht wirklich. Wenn man zweimal den gleichen Linearfaktor abspalten kann, dann steckt er zweimal drinne, daher das Quadrat. Und wenn es so einfach wäre mit dem Horner-Schema, dann würde es ein Fachgebiet namens Algebra nicht geben. Man kann damit (oder mit der Polynomdivision, die ja nur eine andere Schreibweise darstellt) solche Linearfaktoren abspalten, die man schon kennt, falls dies deine Frage war.
Weiters gibt es einen Satz, der in diesem Zusammenhang recht nützlich ist. Sind nämlich die Koeffizienten eines Polynoms ganzzahlig, so teilt jede ganzzahlige Nullstelle das Absolutglied. Außerdem kann man sich leicht klarmachen, dass für den Fall, dass x=1 eine Nullstelle ist, die Summe aller Koeffizienten des Polynoms gleich Null sein muss (was hier im Ausgangspolynom sowie im abgespaltenen Polynom 3. Grades der Fall ist!). Ist x=-1, so ist die Differenz aus der Summe der Koeffizienten der geradzahligen Potenzen minus derjenigen der ungeradzahligen Potenzen gleich Null. Diese Sachverhalte machen es recht einfach, etwaige ganzzahlige Nullstellen zu erraten.
Aber wie wäre es jetzt so langsam, mal das Integral auszurechnen?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Mi 19.02.2014 | | Autor: | TorbM |
Ich versuche es...seit einiger Zeit. Bleibe aber schon beim Koeffizientenvergleich wieder stecken.
[mm] \bruch{2x^3-2x^2+4}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x-1} [/mm] + [mm] \bruch{Bx}{(x-1)^2} [/mm] + [mm] \bruch{Cx + D}{x^2+1}
[/mm]
= [mm] \bruch{2x^3-2x^2+4}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1} [/mm] = [mm] \bruch{A(x-1)(x-1)(x^2+1) + Bx(x-1)(x^2+1) + (Cx + D)(x-1)(x-1)(x-1)}{(x-1)^3(x^2+1)}
[/mm]
x1 = 1 -> B = 4
x2 = 0 -> 4 = A - D
x3 = 2 -> -28 = 5A + (2C + D)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Mi 19.02.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Torb!
Du machst es Dir zu schwer, weil Du nicht den Hauptnenner bildest.
[mm]\bruch{2x^3-2x^2+4}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1} \ = \ \bruch{A}{x-1} + \bruch{B}{(x-1)^2} + \bruch{Cx + D}{x^2+1} \ = \ \bruch{A*(x-1)*(x^2+1) + B*(x^2+1) + (Cx + D)*(x-1)^2}{(x-1)^{\red{2}}*(x^2+1)}[/mm]
Außerdem kannst Du bei Deiner Rechnung gar keinen Koeffizientenvergleich durchführen. Das klappt nämlich nur, wenn auch die Nenner identisch sind.
Leider hat sich in einer Antwort oben auch ein kleiner Fehler eingeschlichen.
Der zweite Partialbruch lautet [mm]\bruch{B}{(x-1)^2}[/mm] , also ohne den Faktor [mm]x_[/mm] im Zähler.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Mi 19.02.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Diophant!
> [mm]\bruch{2x^3-2x^2+4x}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{Bx}{(x-1)^2}+\bruch{Cx+D}{x^2+1}[/mm]
Hier hat sich leider bei dem zweiten Partialbruch ein Faktor zuviel eingeschmuggelt.
Im Zähler gehört lediglich ein einsames $B_$ , ohne den Faktor $x_$ .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:18 Mi 19.02.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin Loddar,
> Hier hat sich leider bei dem zweiten Partialbruch ein
> Faktor zuviel eingeschmuggelt.
> Im Zähler gehört lediglich ein einsames [mm]B_[/mm] , ohne den
> Faktor [mm]x_[/mm] .
Ja, da habe ich irgendwie auf dem Handy-Touchscreen irgendwo draufgehustet oder so. Habe es oben korrigiert, danke für den Hinweis!
Gruß, Diophant
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