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Integration: Kreisgleichung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:14 Di 25.02.2014
Autor: sonic5000

Hallo,
gesucht ist der Flächeninhalt die folgende Kreisgleichung mit der Normalparabel einschließt:

[mm] 4=(x-2)^2+y^2 [/mm] und [mm] y=x^2 [/mm]

Mein Ansatz:

Schnittpunkte bestimmen durch Gleichsetzen und dann Tangentenverfahren:

Schnittpunkte sind:

[mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=1,3787... [/mm]

Somit habe ich also die Integrationsgrenzen...

Bestimmtes Integral bilden:

[mm] \integral _{0}^{1,38}{\wurzel{-x^2+4x}-x^2dx} [/mm]

Integral aufteilen:

[mm] -\integral{x^2dx}+\integral{x*\wurzel{\br{4}{x}-1}dx} [/mm]

[mm] \integral{x^2dx}+I_1 [/mm]

Partielle Integration des Integrals [mm] I_1: [/mm]

[mm] u=\br {1}{2}x^2 [/mm] u'=x und [mm] v=\wurzel {\br{4}{x}-1} v'=-\br {2}{x^2\wurzel {\br {4}{x}-1}} [/mm]

[mm] I_1=\integral{x*\wurzel{\br{4}{x}-1}dx}=\br{1}{2} x^2\wurzel {\br {4}{x}-1}+\integral{\br{1}{\wurzel{\br{4}{x}-1}}dx} [/mm]

[mm] I_1=\integral{x*\wurzel{\br{4}{x}-1}dx}=\br{1}{2} x^2\wurzel {\br {4}{x}-1}+I_2 [/mm]

Nun [mm] I_2 [/mm] berechnen:

[mm] I_2=2*\integral{\br{1}{2*\wurzel{\br{4}{x}-1}}dx} [/mm]

[mm] I_2=2*\wurzel{\br{4}{x}-1} [/mm]

So komme ich auf:

[mm] -\br{1}{3}x^3+\br{1}{2}x^2\wurzel{\br{4}{x}-1}+2*\wurzel{\br {4}{x}-1} [/mm]

Das sollte die Stammfunktion sein. Wenn ich nun das bestimmte Integral berechnen will habe ich einen undefinierten Ausdruck wenn ich für x die Null einsetze :-(. Kann mir jemand helfen?

LG und besten Dank im Voraus...



        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:21 Di 25.02.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo,
> gesucht ist der Flächeninhalt die folgende Kreisgleichung
> mit der Normalparabel einschließt:

>

> [mm]4=(x-2)^2+y^2[/mm] und [mm]y=x^2[/mm]

>

> Mein Ansatz:

>

> Schnittpunkte bestimmen durch Gleichsetzen und dann
> Tangentenverfahren:

>

> Schnittpunkte sind:

>

> [mm]x_1=0[/mm] und [mm]x_2=1,3787...[/mm]

>

Das sind so ganz nebenbei keine Schnittpunkte sondern die Abszissen derselben (mehr braucht man ja aber hier auch nicht).

> Somit habe ich also die Integrationsgrenzen...

>

> Bestimmtes Integral bilden:

>

> [mm]\integral _{0}^{1,38}{\wurzel{-x^2+4x}-x^2dx}[/mm]

>

> Integral aufteilen:

>

> [mm]-\integral{x^2dx}+\integral{x*\wurzel{\br{4}{x}-1}dx}[/mm]

>

Ab hier brauchen wir uns nicht mehgr weiter darüber unterhalten. Deine Stammfunktion für den Halbkreis ist falsch. Verwende

[mm] \int{\wurzel{r^2-x^2} dx}=\bruch{1}{2}*\left[x*\wurzel{r^2-x^2}+r^2*arctan\left(\bruch{x}{\wurzel{r^2-x^2}}\right)\right]+C [/mm]


Gruß, Diophant

 

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