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Integration: Substitution
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:19 Do 13.02.2014
Autor: sonic5000

Hallo,

folgendes Integral soll gelöst werden:

[mm] \integral{\wurzel{x^2-2x}dx} [/mm]

Im Lösungsbuch steht nun die Substitution:

x-1=cosh(u)

Mein Ansatz:

Integral umstellen auf:

[mm] \integral{\wurzel{2x(x-1)}dx} [/mm]

Bei der Substitution bin ich mir nun nicht sicher. Soll ich nach u auflösen?

Dann käme ich auf:

u=arcosh(x-1)

Und somit auf:

[mm] dx=\wurzel{x^2-2x}*du [/mm]

Eingesetzt ins Integral:

[mm] \integral{\wurzel{2x*(u)}dx}*\wurzel{x^2-2x}*du [/mm]

Hier komme ich nicht mehr weiter... Kann mir einer helfen?

LG und besten Dank im Voraus








        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Do 13.02.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo,

>

> folgendes Integral soll gelöst werden:

>

> [mm]\integral{\wurzel{x^2-2x}dx}[/mm]

>

> Im Lösungsbuch steht nun die Substitution:

>

> x-1=cosh(u)

>

> Mein Ansatz:

>

> Integral umstellen auf:

>

> [mm]\integral{\wurzel{2x(x-1)}dx}[/mm]

>

Nein, da hast du falsch faktorisiert.

> Bei der Substitution bin ich mir nun nicht sicher. Soll ich
> nach u auflösen?

Nee. Das ist hier ein wenig tricky. Ist dir die Identität

[mm] cosh^2(x)-sinh^2(x)=1 [/mm]

bekannt? Die wird hier genutzt. Verwende nämlich einmal

x-1=cosh(u) =>

x=cosh(u)+1 [mm] \vee [/mm] x-2=cosh(u)-1

Jetzt setz das mal ohne irgendwas auszumultiplizieren nach einer geeigneten Faktorisierung in den Radikanden ein, ich denke, dann sollte der Sinn und Zweck der Substitution klarer werden.

Gruß, Diophant

Bezug
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