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| Aufgabe | | Lösen sie [mm] \integral_{}^{}{sin(ln x ) dx} [/mm] zunächst mit Substitution x = [mm] e^t [/mm] , danach mit Partieller Integration. |
Bitte um Korrektur meiner Rechnung.
[mm] \integral_{}^{}{sin(ln x ) dx} [/mm] x = [mm] e^t [/mm] du/dx = [mm] e^t [/mm] dx = [mm] du/e^t
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{sin(ln x ) dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{sin(ln e^t ) du/e^t}
[/mm]
Würde sagen die beiden [mm] e^t [/mm] kürzen sich hinaus und man hat
[mm] \integral_{}^{}{sin(ln*1 ) dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{sin(ln x ) dx} [/mm] Also wieder das Grundintegral was ich ein wenig sinnfrei finde habe aber keine andere Möglichkeit gefunden.
[mm] \integral_{}^{}{sin( ln x ) * 1 dx} [/mm] nun mit Partieller Integration
u = sin(ln x ) v' = 1
u'= cos(ln x) * 1/x v = x
[mm] \integral_{}^{}{sin(ln x ) dx} [/mm] = sin(ln x ) * x - [mm] \integral_{}^{}{cos(ln x) *1/x * x dx}
[/mm]
= sin(ln x ) * x - [mm] \integral_{}^{}{cos(ln x) * 1 dx} [/mm] Da sich der Term nicht vereinfacht nochmal Partiell integrieren.
u = cos(ln x) v' = 1
u' = -sin(ln x) v = x
[mm] \integral_{}^{}{sin(ln x ) dx} [/mm] = sin(ln x) * x -(cos(ln x) * x - [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
= sin (ln x) * x - cos (ln x) * x + [mm] \integral_{}^{}{sin(ln x ) *1 dx} [/mm] Da dies das Grundintegral ist kann ich es auf die andere Seite ziehen und anschließend den rest durch 2 dividieren.
[mm] \integral_{}^{}{sin(ln x ) dx} [/mm] = sin( ln x ) * x - cos ( ln x ) * x /2
Bin mir am unsichersten mit der Substitution weil sie ja eig reingarnichts gebracht hat . Und das eigentlich nicht sein kann.
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Hallo Phencyclidine,
da ist in der Tat etwas schief gelaufen...
> Lösen sie [mm]\integral_{}^{}{sin(ln x ) dx}[/mm] zunächst mit
> Substitution x = [mm]e^t[/mm] , danach mit Partieller Integration.
> Bitte um Korrektur meiner Rechnung.
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin(ln x ) dx}[/mm] x = [mm]e^t[/mm] du/dx = [mm]e^t[/mm] dx =
> [mm]du/e^t[/mm]
Wo kommt denn auf einmal "du" her?
Wenn [mm] x=e^t [/mm] ist, dann ist [mm] \bruch{dx}{dt}=e^t [/mm] und [mm] dx=e^t*dt.
[/mm]
Zu lösen ist dann also [mm] \int{\sin{(t)}*e^t\;\mathrm{dt}}
[/mm]
Kommst Du damit weiter?
Tipp: zweimal partiell integrieren.
Grüße
reverend
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin(ln x ) dx}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{sin(ln e^t ) du/e^t}[/mm]
>
> Würde sagen die beiden [mm]e^t[/mm] kürzen sich hinaus und man hat
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin(ln*1 ) dx}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{sin(ln x ) dx}[/mm]
> Also wieder das Grundintegral was ich ein wenig sinnfrei
> finde habe aber keine andere Möglichkeit gefunden.
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin( ln x ) * 1 dx}[/mm] nun mit Partieller
> Integration
>
> u = sin(ln x ) v' = 1
> u'= cos(ln x) * 1/x v = x
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin(ln x ) dx}[/mm] = sin(ln x ) * x -
> [mm]\integral_{}^{}{cos(ln x) *1/x * x dx}[/mm]
>
> = sin(ln x ) * x - [mm]\integral_{}^{}{cos(ln x) * 1 dx}[/mm] Da
> sich der Term nicht vereinfacht nochmal Partiell
> integrieren.
>
> u = cos(ln x) v' = 1
> u' = -sin(ln x) v = x
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin(ln x ) dx}[/mm] = sin(ln x) * x -(cos(ln x)
> * x - [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
>
> = sin (ln x) * x - cos (ln x) * x + [mm]\integral_{}^{}{sin(ln x ) *1 dx}[/mm]
> Da dies das Grundintegral ist kann ich es auf die andere
> Seite ziehen und anschließend den rest durch 2
> dividieren.
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin(ln x ) dx}[/mm] = sin( ln x ) * x - cos (
> ln x ) * x /2
>
> Bin mir am unsichersten mit der Substitution weil sie ja
> eig reingarnichts gebracht hat . Und das eigentlich nicht
> sein kann.
>
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Hey !
Danke schonmal für die Hilfe habe jetzt mal hoffentlich richtig gerechnet !
[mm] \integral_{}^{}{sin(t) * e^t dt}
[/mm]
u = sin(t) v' = [mm] e^t
[/mm]
u' = cos(t) v = [mm] e^t
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{sin(t) * e^t dt} [/mm] = [mm] sin(t)*e^t [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{cos(t)*e^t dt}
[/mm]
u = cos(t) v' = [mm] e^t
[/mm]
u' = -sin(t) v = [mm] e^t
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{sin(t) * e^t dt} [/mm] = [mm] sin(t)*e^t-(cos(t)*e^t- \integral_{}^{}{-sin(t)*e^t dt} [/mm]
= [mm] sin(t)*e^t-cos(t)*e^t [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{sin(t)*e^t dt}
[/mm]
So das Rüberziehen und mit dem anderen Teil dividieren und ich komme auf.
[mm] \integral_{}^{}{sin(t) * e^t dt} [/mm] = [mm] e^t [/mm] *(sin(t)-cos(t)) / 2
Und kurz noch eine Frage:
Das ln kürzt sich ja mit dem [mm] e^t [/mm] weg oder? Also ---> sin [mm] (ln*e^t) [/mm] =
sin(t) einfach nur bedeutet das bedeutet ja das ich generell auch z.b bei
sin ( [mm] ln*e^3) [/mm] = sin(3) habe usw. Wenn das stimmt habe ich das völlig vergessen das mit einzubeziehen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:37 Mi 26.03.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Phencyclidine!
> So das Rüberziehen und mit dem anderen Teil dividieren und
> ich komme auf.
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin(t) * e^t dt}[/mm] = [mm]e^t[/mm] *(sin(t)-cos(t)) /
> 2
Das stimmt soweit ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , aber du bist noch nicht fertig. Oben hast du ja [mm]x=e^t[/mm] substituiert... Jetzt musst du noch resubstituieren, d.h. für [mm]e^t=x[/mm], bzw. für [mm]t=\ln(x)[/mm] ersetzen.
> Und kurz noch eine Frage:
>
> Das ln kürzt sich ja mit dem [mm]e^t[/mm] weg oder? Also ---> sin
> [mm](ln*e^t)[/mm] =
> sin(t) einfach nur bedeutet das bedeutet ja das ich
> generell auch z.b bei
> sin ( [mm]ln*e^3)[/mm] = sin(3) habe usw. Wenn das stimmt habe ich
> das völlig vergessen das mit einzubeziehen.
Ja, aber es heißt nicht [mm]\ln\cdot e^t[/mm], sondern [mm]\ln(e^t)[/mm]. Und es gilt [mm]\ln(e^\text{irgendwas})=e^{\ln(\text{irgendwas})}=\text{irgendwas}[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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Dankeschön ! Dann habe ich das soweit :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 Mi 26.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Lösen sie [mm]\integral_{}^{}{sin(ln x ) dx}[/mm] zunächst mit
> Substitution x = [mm]e^t[/mm] , danach mit Partieller Integration.
> Bitte um Korrektur meiner Rechnung.
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin(ln x ) dx}[/mm] x = [mm]e^t[/mm] du/dx = [mm]e^t[/mm] dx =
> [mm]du/e^t[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin(ln x ) dx}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{sin(ln e^t ) du/e^t}[/mm]
>
> Würde sagen die beiden [mm]e^t[/mm] kürzen sich hinaus und man hat
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin(ln*1 ) dx}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{sin(ln x ) dx}[/mm]
> Also wieder das Grundintegral was ich ein wenig sinnfrei
> finde habe aber keine andere Möglichkeit gefunden.
Ist das Dein Ernst ?? Oder hab ich etwas falsch verstanden ?
In
[mm]\integral_{}^{}{sin(ln e^t ) du/e^t}[/mm]
kürzt Du also [mm] e^t [/mm] "hinaus" ? Puuuh ! Boah ! Das ist heftig.
Wenn das richtig wäre, so bist Du doch fertig ! Unter dem Integral bleibt dann [mm] \sin(\ln(1)) [/mm] stehen. Wegen [mm] \ln(1)=0 [/mm] , bleibt unterm Integral die Funktion , die konstant =0 ist stehen !
Ich erfinde mal schnell die Mathematik neu, indem ich ein Axiom einführe (dafür bekomme ich sicher die Fields-Medaille):
Das Fredsche Kürzungsaxiom: kürze alles, was Dir über den Weg läuft, immer und überall.
Wenn man dieses Axiom annimmt, so hat das ungeahnte und großartige Konsequenzen. Zum Beispiel:
1. Fredscher Hauptsatz: Ist $D$ eine nichtleere Menge in [mm] \IR [/mm] mit $ 0 [mm] \notin [/mm] D$ und $f:D [mm] \to \IR$ [/mm] eine Funktion ohne Nullstellen, so ist $f$ auf $D$ injektiv.
Beweis: seien $x,y [mm] \in [/mm] D$ und $f(x)=f(y)$. Da $f(y) [mm] \ne [/mm] 0$ ist, folgt
[mm] \bruch{f(x)}{f(y)}=1.
[/mm]
Nach obigem Axiom können wir kürzem was das Zeug hält, z.B. $f$ und die Klammern. Damit haben wir
[mm] \bruch{x}{y}=1,
[/mm]
also $x=y$. Bingo !
2. Fredscher Hauptsatz: der Spruch "Aus Differenzen und Summen
wurzeln nur die Dummen" hat keine Berechtigung mehr, d.h.:
für nichtnegative Zahlen $a$ und $b$ mit $a+b>0$ ist [mm] $\wurzel{a+b} =\wurzel{a} +\wurzel{b} [/mm] $
Beweis: mit obigem Axiom und Kürzerei von [mm] \wurzel{*} [/mm] bis zur Schmerzgrenze erhalten wir
[mm] \bruch{\wurzel{a+b} }{\wurzel{a}+\wurzel{b} }=\bruch{a+b}{a+b}=1.
[/mm]
Waaaahnsinn !
FRED
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin( ln x ) * 1 dx}[/mm] nun mit Partieller
> Integration
>
> u = sin(ln x ) v' = 1
> u'= cos(ln x) * 1/x v = x
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin(ln x ) dx}[/mm] = sin(ln x ) * x -
> [mm]\integral_{}^{}{cos(ln x) *1/x * x dx}[/mm]
>
> = sin(ln x ) * x - [mm]\integral_{}^{}{cos(ln x) * 1 dx}[/mm] Da
> sich der Term nicht vereinfacht nochmal Partiell
> integrieren.
>
> u = cos(ln x) v' = 1
> u' = -sin(ln x) v = x
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin(ln x ) dx}[/mm] = sin(ln x) * x -(cos(ln x)
> * x - [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
>
> = sin (ln x) * x - cos (ln x) * x + [mm]\integral_{}^{}{sin(ln x ) *1 dx}[/mm]
> Da dies das Grundintegral ist kann ich es auf die andere
> Seite ziehen und anschließend den rest durch 2
> dividieren.
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin(ln x ) dx}[/mm] = sin( ln x ) * x - cos (
> ln x ) * x /2
>
> Bin mir am unsichersten mit der Substitution weil sie ja
> eig reingarnichts gebracht hat . Und das eigentlich nicht
> sein kann.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:24 Mi 26.03.2014 | | Autor: | Richie1401 |
> > Lösen sie [mm]\integral_{}^{}{sin(ln x ) dx}[/mm] zunächst mit
> > Substitution x = [mm]e^t[/mm] , danach mit Partieller Integration.
> > Bitte um Korrektur meiner Rechnung.
> >
> > [mm]\integral_{}^{}{sin(ln x ) dx}[/mm] x = [mm]e^t[/mm] du/dx = [mm]e^t[/mm] dx =
> > [mm]du/e^t[/mm]
> >
> >
> > [mm]\integral_{}^{}{sin(ln x ) dx}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{sin(ln e^t ) du/e^t}[/mm]
>
> >
> > Würde sagen die beiden [mm]e^t[/mm] kürzen sich hinaus und man hat
> >
> > [mm]\integral_{}^{}{sin(ln*1 ) dx}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{sin(ln x ) dx}[/mm]
> > Also wieder das Grundintegral was ich ein wenig sinnfrei
> > finde habe aber keine andere Möglichkeit gefunden.
>
>
>
>
> Ist das Dein Ernst ?? Oder hab ich etwas falsch verstanden
> ?
>
> In
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin(ln e^t ) du/e^t}[/mm]
>
> kürzt Du also [mm]e^t[/mm] "hinaus" ? Puuuh ! Boah ! Das ist
> heftig.
>
> Wenn das richtig wäre, so bist Du doch fertig ! Unter dem
> Integral bleibt dann [mm]\sin(\ln(1))[/mm] stehen. Wegen [mm]\ln(1)=0[/mm] ,
> bleibt unterm Integral die Funktion , die konstant =0 ist
> stehen !
>
>
> Ich erfinde mal schnell die Mathematik neu, indem ich ein
> Axiom einführe (dafür bekomme ich sicher die
> Fields-Medaille):
Sorry Fred, aber dafür bekommst du noch nicht einmal den Nobelpreis in der Sparte Mathematik. 
>
> Das Fredsche Kürzungsaxiom: kürze alles, was Dir über
> den Weg läuft, immer und überall.
>
> Wenn man dieses Axiom annimmt, so hat das ungeahnte und
> großartige Konsequenzen. Zum Beispiel:
>
> 1. Fredscher Hauptsatz: Ist [mm]D[/mm] eine nichtleere Menge in [mm]\IR[/mm]
> mit [mm]0 \notin D[/mm] und [mm]f:D \to \IR[/mm] eine Funktion ohne
> Nullstellen, so ist [mm]f[/mm] auf [mm]D[/mm] injektiv.
>
>
> Beweis: seien [mm]x,y \in D[/mm] und [mm]f(x)=f(y)[/mm]. Da [mm]f(y) \ne 0[/mm] ist,
> folgt
>
> [mm]\bruch{f(x)}{f(y)}=1.[/mm]
>
> Nach obigem Axiom können wir kürzem was das Zeug hält,
> z.B. [mm]f[/mm] und die Klammern. Damit haben wir
>
> [mm]\bruch{x}{y}=1,[/mm]
>
> also [mm]x=y[/mm]. Bingo !
>
> 2. Fredscher Hauptsatz: der Spruch "Aus Differenzen und
> Summen
> wurzeln nur die Dummen" hat keine Berechtigung mehr,
> d.h.:
>
> für nichtnegative Zahlen [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] mit [mm]a+b>0[/mm] ist
> [mm]\wurzel{a+b} =\wurzel{a} +\wurzel{b}[/mm]
>
> Beweis: mit obigem Axiom und Kürzerei von [mm]\wurzel{*}[/mm] bis
> zur Schmerzgrenze erhalten wir
>
> [mm]\bruch{\wurzel{a+b} }{\wurzel{a}+\wurzel{b} }=\bruch{a+b}{a+b}=1.[/mm]
>
> Waaaahnsinn !
>
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> FRED
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>
> >
> > [mm]\integral_{}^{}{sin( ln x ) * 1 dx}[/mm] nun mit Partieller
> > Integration
> >
> > u = sin(ln x ) v' = 1
> > u'= cos(ln x) * 1/x v = x
> >
> > [mm]\integral_{}^{}{sin(ln x ) dx}[/mm] = sin(ln x ) * x -
> > [mm]\integral_{}^{}{cos(ln x) *1/x * x dx}[/mm]
> >
> > = sin(ln x ) * x - [mm]\integral_{}^{}{cos(ln x) * 1 dx}[/mm] Da
> > sich der Term nicht vereinfacht nochmal Partiell
> > integrieren.
> >
> > u = cos(ln x) v' = 1
> > u' = -sin(ln x) v = x
> >
> > [mm]\integral_{}^{}{sin(ln x ) dx}[/mm] = sin(ln x) * x -(cos(ln x)
> > * x - [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
> >
> > = sin (ln x) * x - cos (ln x) * x + [mm]\integral_{}^{}{sin(ln x ) *1 dx}[/mm]
> > Da dies das Grundintegral ist kann ich es auf die andere
> > Seite ziehen und anschließend den rest durch 2
> > dividieren.
> >
> > [mm]\integral_{}^{}{sin(ln x ) dx}[/mm] = sin( ln x ) * x - cos (
> > ln x ) * x /2
> >
> > Bin mir am unsichersten mit der Substitution weil sie ja
> > eig reingarnichts gebracht hat . Und das eigentlich nicht
> > sein kann.
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